Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
s s
>
s
J IsiP)(s)P(ds) J I8{Q)(t)Q(dt)= 1,
так что P*Q [s (P) s (Q)] = 1 и s (P * Q) d s (P) s (Q).
2.2. Стохастические полугруппы
43
Для того чтобы доказать, что s (Р * Q) ZD s (Р) s (Q), выберем
произвольный элемент s в s (Р) s (Q) и некоторую его окрестность N. Можно
найти элементы s' 6 s (Р), s" 6 s (Q) со столь малыми окрестностями Л'' и
N", что N'N"c:N. Но тогда Р * Q (N) > Р * Q (A'r'iV")>
> Р (N') Q (N")> 0, откуда вытекает, что s 6 s (Р * Q), так что s (Р) s
(Q) CZ s (Р * Q), как и утверждалось.
Заметим, что если S компактно, то множество А = = s (Р) s (Q)
автоматически замкнуто, и символ замыкания может быть опущен.
Однородные случайные процессы могут быть введены несколькими способами.
Способ, избранный ниже, иногда удобен, но отличен от обычно используемого
на действительной прямой (см. замечания 2.2.4).
Определение 2.2.3. Под однородным случайным процессом на полугруппе S
понимается некоторое семейство вероятностных мер {Pt\ 0<^-<ooj на S,
таких, что Pt*Ps =Pt+s, 0 <,t, s-< оо. Этот процесс называется
непрерывным (по вероятности), если Pt ->-.6е слабо при t | 0.
Определим также безгранично делимые распределения.
Определение 2.2.4. Распределение вероятностей Р 6 HP (S) на полугруппе с
единицей е называется безгранично делимым, если для любого натурального
числа п существует Рп 6 аР (S), такое, что
Р"* - Р и Рп -> 8е при п -> со.
Замечание. Распределения Pt, образующие непрерывный однородный процесс,
автоматически являются безгранично делимыми. Но нет оснований полагать,
что заданное безгранично делимое распределение Р может быть всегда
вложено в однородный процесс Pt так, что Pi = Р.
Условие Рп -> 6е существенно, но интересно посмотреть, что случится, если
его опустить, особенно на полугруппах без единицы.
Заметим, что в определении используются одинаковые компоненты Рп. Если
допускаются различные компоненты, то можно получить более широкое
определение.
44
Гл. 2. Стохастические полугруппы
2.3. Компактные стохастические полугруппы
Для стохастических полугрупп в том общем виде, в каком они
рассматривались в последнем разделе, сейчас не представляется возможным
получить какие-нибудь существенные вероятностные результаты желаемого
типа. Чтобы это сделать, нужно наложить на 5 дополнительные структурные
ограничения (например, групповое свойство или еще что-нибудь). Этот
подход будет развит в следующих главах, а сейчас мы рассмотрим, не входя
в чрезмерные подробности, что имеет место в случае, когда S компактно.
Вспомним, что операция композиции Р± * Р2 непрерывна по Р) и Р2 и что
используется слабая * сходимость (см. замечания 2.3.!), так что еР (S)
компактно (см. замечания 2.1.3). Компактная полугруппа имеет по крайней
мере один идемпотент (см. замечания 2.3.2), и мы ниже его конструктивно
выделим. Компактность сГ1 (5) делает поиски предельных теорем более
обещающими. Конечно, вполне может случиться, что данная
последовательность Р, Р2*, Р3*, ... не сходится, например в случае
циклической группы, в которой вся распределенная вероятностная масса
сосредоточена в одном элементе, отличном от единицы. В этом случае
"колебания" последовательности Рп* можно устранить либо выбором
подпоследовательности, либо применением процедуры суммирования, описанной
ниже.
Если С (S) - множество непрерывных функций / (s) на 5 с обычной нормой
max j / (s) j, то вероятностный оператор
Tf(s)= \ f(st)P(di)
линеен, ограничен и \\Т\\ = 1. Введем осредненную сумму итераций
Ап = ~(Т + Т*+---+Тп),
которая является вероятностным оператором относительно вероятностной меры
лп = ±(Р + Р**+... +РГ-*).
Семейство функций / (st) аргумента s и параметра t равностепенно
непрерывно: для любых е > 0 и s 6 S существует
2.3. Компактные стохастические полугруппы 45
такая окрестность N (s), что
\f(s't) - f(st)\<^s для всех t?S,
если s' ? N (s). Это легко следует из компактности S. Но тогда семейство
функций Ап f (s) аргумента s и параметра п также равностепенно
непрерывно. Тогда мы можем выделить сходящуюся подпоследовательность Ап f
(s) (см. замечания 2.3.3). Из одного варианта эргодической теоремы (см.
замечания 2.3.4) вытекает, что функции Anf (s) сходятся [по норме
пространства С (S)] к некоторому Af (s) и АТ = = ТА = А2 = А, причем А
есть положительное линейное преобразование в С (S). В переводе на
вероятностный язык это означает следующее.
Теорема 2.3.1. Среднее по Чезаро
л = lirn (1 In) (Р + Р2* + . . . + Р"*)
п->со
существует и является идемпотентной мерой л2* = л. Далее, Р * л = л * Р =
л.
Можно немного более полно описать возможные предельные меры и
идемпотенты. Прежде всего ясно, что при любом предельном распределении
распределенная масса находится
на замыкании суммы всех множеств [s (Р)]", /1=1,2.........
Поэтому мы вполне можем ограничиться этим подмножеством множества S;
очевидно, что оно тоже является компактной топологической полугруппой. В
дальнейшем будетпред-полагаться, что это сделано. Можно показать затем,
