Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 12

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 82 >> Следующая

результаты не похожи на те, которые имеют место в классической теории. В
этой весьма общей ситуации наши знания менее полны, но контуры теории уже
различимы.
Оператор
Tf(g)= I f(gh)P(dh)
и
играет важную роль. Его спектральные свойства были изучены Гренандером
[2] и Кестеном [1].
Интересный частный случай представляет собой группа Ли. Хант уже в 1956
г. показал, что однородные процессы на такой группе могут быть полностью
охарактеризованы. Хант сделал это, выведя общее выражение для инфините-
Аимального порождающего оператора
Af (g) - Um-^-f(g), h | 0 n
где
Ttf (g) = \ f (gh) Pt (dh)
G
и где функция f (g) достаточно гладкая. Аналогичными методами Вен [ 1 ]
показал возможность вывода нескольких важных предельных теорем.
Возвращаясь к общему случаю, подчеркнем важность понятия идемпотентной
меры. Вероятностная мера М называется идемпотентной, если М2* = М *М =М.
Пусть Р
31
Г л. 1. Исторические предпосылки
есть вероятностная мера на группе, a Q есть предельная мера Рп* ->-Q.
Тогда Q2* = lim Рп* * Pn*= lirn Рп* = Q,
П п
и мера Q должна быть идемпотентной. Обратно, любая ндем-потентная мера Q
является предельной: Q = Q?i* = lim Qn*.
П->со
Класс возможных предельных распределений совпадает с классом
идемпотентных распределений, что и определяет их важность для нас.
Идемпотентные меры были изучены Венделем [1] и др. при различных
предположениях относительно положенной в основу алгебраическо-топологиче-
ской структуры. Типичным идемпотентом является нормированная мера Хаара
на компактной подгруппе.
Если Q есть идемпотент, то ее носитель, т. е. наименьшее множество,
содержащее всю распределенную массу (более аккуратное определение будет
дано ниже), должен быть подгруппой. Чтобы почувствовать это, представим
себе конечное распределение с точечными массами pg, g ? G. Имеем
Рв =2 PaPb-
ah-g
Введем множество Г = fg | pg > 0}. Если ра, ръ > 0, то Раь > 0, так что
Г2 с= Г. Но так как Г конечно, отсюда следует, что Г образует подгруппу.
Мы увидим в основном тексте, что это имеет место и в более общей
обстановке.
Тип групп, более близких к линейным пространствам, образуют группы с
однозначно определенными корнями п-й степени: каждому натуральному п и
каждому элементу g 6 G должен соответствовать однозначно определенный
элемент h?G, такой, что hn = g. Такие стохастические группы
рассматривались Гренаидером [4]. На таких группах предельные теоремы
принимают особенно приятный вид.
1.4.7. Некоторые авторы изучали стохастические полугруппы, их
исследования показали, где и насколько существенны групповые свойства для
справедливости результатов, о которых шла речь выше. До сих пор подробно
исследовались только компактные полугруппы.
Хьюит и Цуккерман [ 1 ] изучали конечные коммутативные полугруппы,
используя полухарактеры для своего определения .преобразования Фурье
распределения вероятно-
1.4. Исторические предпосылки
35
стей. Полухарактер х (s) есть комплекснозначная функция х (s) ф 0, такая,
что х (st) = х (s) х (t) для любых элементов s и t полугруппы.
Преобразование Фурье определяется тогда как
P(x) = 'Zpsx (s),
$
и оно обладает некоторыми известными свойствами преобразований Фурье.
Среди других результатов эти авторы дали критерий сходимости Рп*.
Розенблат [1] (см. также Хебл и Розенблат [1]) изучал предельные теоремы
на компактных полугруппах и среди прочих результатов показал, что средние
Лп = -~(Р + Р**+---+РГ-*)
всегда сходятся к некоторой предельной мере л при п -ч>-оо. Мера л
является идемпотентом, и ее носитель есть минимальный двусторонний идеал
полугруппы.
Так же, как появление подгрупп в случае группы, естественно появление
ядра (минимального двустороннего идеала) при изучении предельных теорем и
идемпотентных мер. Легко дать этому эвристическую мотивировку.
Предположим, что Рп* сходится к Q. Случайный элемент Yn = = &1&2 ¦ ¦ ¦ gn
принимает значения из носителя s (Рп*), и мы можем ограничиться замкнутой
полугруппой S, натянутой на эти носители, " = 1,2, .... Если / есть
двусторонний идеал полугруппы S и п велико, то значения уп будут
элементами из S, близкими к I. Но если мы попадаем в I, мы там остаемся.
Рассмотрим теперь
Ут = Ё1 • ¦ • gngn+l • • • §2п • ¦ ¦ ?(r-1) п • • • grni
разбитое на г больших групп. С подавляющей вероятностью (если г также
велико) по крайней мере одна из этих групп представляет элемент, близкий
к I. Следовательно, мы можем ожидать, что предельное распределение имеет
своим носителем /, по-видимому, мы даже можем надеяться, что s (Q) будет
наименьшим I, т. е. ядром К.
1.4.8. Другим направлением исследования являются стохастические
алгебры. Там мы имеем две главные операции - сложение и умножение.
Гренандер [2,3] исследовал отно-
36
Гл. 1. Исторические предпосылки
шения между аддитивными и мультипликативными процессами и их влияние на
соответствующие предельные теоремы. Если, в частности, объектом изучения
является банахова алгебра, то мы приходим к естественной связи с тем, что
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed