Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
для обнаружения сигнала.
Это можно сделать, предполагая, что совокупность выборочных функций
образует некоторое функциональное пространство. Можно использовать
некоторое банахово пространство. При этом нужно ввести вероятностные меры
на таких пространствах и изучить свойства этих мер. Заметим, что эти
пространства, вообще говоря, не являются локально компактными (что
приводит к некоторым усложнениям), но зато они имеют линейную структуру
(что, конечно, упрощает дело).
Чтобы более ясно показать, чего можно добиться с помощью этого подхода,
предположим, что делаются повторные выборки из того же процесса, что и
раньше. Обозначим
26
Г л. 1. Исторические предпосылки
наблюденные выборочные функции xt (t), х2 (/), . . хп (/) и образуем
среднее:
хп (i) = - [Xi (/) + х2 (t) + • • • -Ь хп (/)].
Это среднее также принадлежит линейному пространству, и нас может
интересовать вопрос о его сходимости (в топологии того же пространства)
при п ->-оо. Было бы, конечно, желательно, чтобы хп (/) сходилось к т (/)
= Е х (/) в смысле (сильной) сходимости по вероятности:
lim Р {j| т (t) - xn (t) ||> e} = 0 при любом e > 0,
n-tco
или в смысле (сильной) сходимости почти наверное:
Р {lim || т (i) - хп (/) |{ = 0} = 1,
п-> эо
или в смысле какой-нибудь другой сходимости. Подобные формы закона
больших чисел в линейных пространствах были бы очень полезны.
Точно так же было бы желательно получить различные формы центральной
предельной теоремы и т. п. в стохастических линейных пространствах.
Достаточно будет одного примера. Предположим, что мы делаем выборку из
непрерывной одномерной популяции с известной функцией распределения.
Известно, что можно преобразовать это распределение в равномерное
распределение на единичном интервале (0, 1). Образуем эмпирическую
функцию распределения
Fn (х) = [число наблюдений <я].
Тогда функцию
Уп {x) = Yn [Fn (х) - х]
можно рассматривать как элемент гильбертова пространства Ь2 (0, 1) всех
функций с интегрируемым квадратом на (0, 1). Это определяет распределение
вероятностей Рп на пространстве Ь2 (0, 1). Хотелось бы доказать, что
последовательность {Рп} сходится (в каком смысле?) при п оо к некоторому
предельному распределению Р. Было бы очень интересно вывести, что
Рп {| Уп (х) | < с} -> Р {] у (х) | < с};
1.4. Исторические предпосылки
27
это связано, конечно, с критериями Колмогорова и Смирнова (см. также
замечания 1.2.2.2).
1.3.6. В конце разд. 1.3.4 мы говорили о стохастических алгебрах.
Тогда мы имели в виду только локально компактные алгебры, но теперь
естественно обратиться к банаховым алгебрам, комбинируя линейную
структуру вероятностного пространства с линейной структурой алгебры. Это
естественно делать в тех приложениях, где ограниченный стохастический
оператор действует линейно на банаховом пространстве. Неограниченные
операторы, которые появляются, например, в связи со стохастическими
дифференциальными операторами, находятся за пределами нашего изложения.
1.4. Исторические предпосылки
1.4.1. Всегда бывает трудно проследить развитие математических идей в
обратном порядке вплоть до момента их возникновения; но с некоторым
усилием и при желании можно, несмотря на неясность и неопределенность
задачи, добиться успеха, продвинувшись при этом далеко назад во времени.
Наш случай не является исключением из этого правила. Хотя большинство
результатов современной теории относится к пятидесятым годам и особенно
продуктивными были именно последние годы, некоторые идеи возникли
значительно раньше.
В классической теории вероятностей, в таких ее разделах, как предельные
теоремы и т. п., рассматривались распределения на действительной прямой
или на решетках, расположенных на ней, но уже на ранних этапах развития
теории выяснилось, что она могла бы быть распространена на распределение
на плоскости R2 или в евклидовом многомерном пространстве Rk. Возьмем,
например, закон больших чисел. Стоило только установить его для случайных
величин, принимающих числовые действительные значения, как сразу же
оказалось возможным сформулировать и доказать его, практически тем же
способом, для величин, принимающих векторные значения. При этом
математически вносится очень мало нового. Другие предельные теоремы,
возможно, несколько труднее обоб-
28
Гл. 1. Исторические предпосылки
щить на Rh, но в общем положение остается прежним: это не очень трудно,
может быть, не очень интересно, но подчас весьма полезно.
1.4.2. Переходя к бесконечномерным векторным пространствам, мы
сталкиваемся с совершенно другой ситуацией. Здесь требуются более
серьезные усилия для перенесения классических результатов или для
отыскания новых результатов, занимающих место старых, уже известных. В
серии работ Фреше ([1] и др.) обоснована необходимость изучения теории
вероятностей в топологических пространствах различной степени общности.
Его предложение - весьма естественное для одного из создателей
современного функционального анализа - не встретило сначала широкого
