Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
отклика, и прошло некоторое время, прежде чем специалисты по теории
вероятностей осознали возможности этого направления. Исключением в этом
медленном развитии является одна ранняя работа Колмогорова [2]. Уже в
1935 г. он предложил изучать теорию вероятностей на банаховых
пространствах с помощью того, что он назвал характеристическим
функционалом. Пусть X есть банахово пространство с элементами х\ X* -
двойственное пространство линейных (ограниченных) функционалов х* = х*
(х) и Р - распределение вероятностей на X. На время отложим вопрос о том,
как в этом пространстве следует ввести распределение Р. Колмогоров
определяет характеристический функционал как
Р (х*) - Eexp \ix* (х)]\
это комплекснозначная функция на X*. Она обладает по крайней мере
некоторыми из главных свойств характеристической функции.
Характеристический функционал однозначно определяет распределение
вероятностей (теорема единственности), композиция соответствует обычному
умножению комплекснозначных функций. Характеристический функционал
является положительно определенной функцией. Однако другие вопросы, вроде
аналога теоремы непрерывности, лежат значительно глубже и потому в
течение некоторого времени оставались открытыми.
Понятие характеристического функционала предлагалось рядом авторов в
связи с различными задачами: Бох
1.4. Исторические предпосылки
29
нером [1], Jle Камом [1] и другими. Оно является неизбежным инструментом
при изучении стохастических линейных пространств.
1.4.3. Систематическое изучение всех этих проблем началось около 1953
г. В фундаментальной работе Мурье был более подробно изучен анализ Фурье
и был сделан большой шаг в теории предельных теорем. Были получены
некоторые варианты закона больших чисел и результат, соответствующий
центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве. Последний был
завершен в работе Мурье и Форте [2]. Нормальное распределение
определялось другими, но эквивалентными способами, например как
распределение, для которого все линейные функционалы имеют нормальное
(действительное или комплексное) распределение.
Мурье рассматривала также построения теории меры, которые должны быть
использованы в банаховом пространстве. Распределения вероятностей
вводятся с помощью всех (скалярных) случайных величин х* (х), где х*
пробегает двойственное пространство X*. Эти функции предполагаются
измеримыми и тогда их можно считать обычными случайными величинами.
Несколько отличный подход был использован Ганшем [1 ], который
предположил вместо этого, что Р есть борелевская мера. В то время как
Мурье определяла распределения вероятностей на полупространствах {х\х*
(х)^сс}аХ, Ганш положил в основу открытые множества. Для сепарабельного
пространства эти два метода приводят к одному и тому же результату, и
только в несепарабельном случае разница существенна.
Поскольку линейные функционалы измеримы, можно определить математическое
ожидание случайного элемента в банаховом пространстве следующим образом
(см. замечания 1.4.3). Если существует такой элемент m ? X, что равенство
имеет смысл и выполнено для всех х* ? X*, то т называется математическим
ожиданием Р и обозначается т = Ex. Это не что иное, как интеграл Петтиса,
примененный к на-
х
30
Гл. 1. Исторические предпосылки
шей ситуации. В банаховом пространстве сохраняются многие свойства
обычного математического ожидания. Это определение необходимо для закона
больших чисел.
Моменты второго порядка (или лучше операторы ковариации) могут быть
определены в стохастическом гильбертовом пространстве. Моменты более
высокого порядка, по-видимому, до сих пор не использовались.
Теперь заложены основы теории стохастических банаховых пространств, но
имеют место по крайней мере два неприятных пробела. Одним из них является
уже отмеченная трудность, возникающая при попытке распространения теоремы
непрерывности. Пусть мы имеем последовательность вероятностных мер Р1;
Р2, ... на X. В обычной терминологии Рп слабо сходится к предельному
распределению Р, если
lim \ f (х) Рп (dx) = [ f(x)P(dx)
n->oo J ?
для любой непрерывной и ограниченной комплекснозначной функции / (х).
Если это так, то, конечно, Рп (х*)
->- Р (х*), х* ? X*, где значок "~" обозначает преобразование Фурье
(характеристический функционал). Это сразу видно, если положить / (х)
=ехр [ix* (*)]. Обратно, пусть известно, что Рп (х*) сходится. Можно ли
тогда утверждать, что Рп слабо, сходится к некоторому распределению
вероятностей? Простые примеры показывают, что, вообще говоря, это не так,
и этот неприятный факт объясняется тем, что распределенная масса может
"растекаться" во все более высокие размерности (представьте себе
гильбертово пространство со счетным множеством координатных осей). Чтобы
справиться с этим, нужно наложить какое-то условие компактности на Рп.
Это может быть сделано различными способами, в частности для гильбертова
пространства требуемые условия установлены Прохоровым [1].
