Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 16

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая

что s (л) - ядро К полугруппы S (см. замечания 2.3.4).
Пусть теперь Р есть произвольная идемпотентная мера Р2* = Р с носителем s
(Р) = 2. Это - подполугруппа, так как 2 =2-2. Обозначим через К ее ядро.
Покажем, что
2 есть вполне простая полугруппа (см. замечания 2.3.2). Если 2 = /С,
то это ясно, так как ядро вполне простое. В противном случае 2 - К
непусто и должно содержать некоторый идемпотент, так как иначе мы
получили бы противоречие: если I есть множество всех идемпотентов в 2, то
2 = 2/2 (см. замечания 2.3.2), с другой стороны, все идемпотенты должны
были бы содержаться в К, так что I а К. и 2 /2 CZ 2/(2 d К, откуда 2 ciK,
что
46
Гл. 2. Стохастические полугруппы
противоречит допущению. Обозначим через i идемпотент в 2 - К и пусть f
(s) есть непрерывная и неотрицательная функция на 2, принимающая значения
1 на г и 0 на К. Рассмотрим функцию
fi(s)= jj f(ts)P(dt).
S
Пусть s0 - точка, где Д (s) достигает максимума. Тогда
Д (so) = J / (ts0) Р (dt) = J f (xts0) P (dx) P (dt) =
s s s
= 5 UitsjPidt),-
s
так что fi (s0) = /i (ts0) для всех t из носителя s (P) =2. Но так как
Ks0 CZ К, то to же самое максимальное значение достигается в некоторой
точке k ядра К¦ Однако
и (k)= 5 f(tk)P(dt) = О,
s
так как tk 6 К. Поэтому максимальное значение функции Д равно нулю. С
другой стороны, Д (г) должно быть положительно, так как
и (г) = 5 / (/г) Р (dt) > J / (ti) Р (dt) > (1 -в)Р (Ni) > О,
s JV.
где Ni есть некоторая малая окрестность идемпотента i. Полученное
противоречие доказывает, что 2 = /(, и так как любое ядро является вполне
простой полугруппой, отсюда вытекает следующая
Теорема 2.3.2.а. Если Р - идемпотентная вероятностная мера на компактной
полугруппе, то ее носитель s (Р) - вполне простая подполугруппа.
Можно следующим образом дать полную, хотя и не непосредственную,
характеристику идемпотентных вероятностных мер на вполне простых
полугруппах. Такие полугруппы могут быть представлены (см. замечания
2.3.2) в виде
К = ТхХ X Y,
2.3. Компактные стохастические полугруппы 47
Здесь Т есть компактная топологическая группа, а X и У - компактные
хаусдорфовы пространства. Умножение элементов
s =--(/, х, у), х', у')
определяется соотношением
ss' = (tff(x, y')t\ х\ у),
где ф - непрерывная функция, принимающая значения из Г и определенная на
X х Y. Тогда ймеет место следующая теорема.
Т е о р е м а 2.3.2.6. Пусть п-некоторая (регулярная) идемпотентная мера
на компактной полугруппе. Носитель меры л является вполне простой
подполугруппой К, и мера п может быть записана в виде
гг т х ? : м,
где т - нормированная мера Хаара наТ, а\иц - регулярные вероятностные
меры соответственно на X и Y (см. замечания 2.3.2).
Если полугруппа S еще и коммутативна, то можно получить более подробную
информацию относительно идем-потентных мер. Это происходит потому, что в
данном случае минимальный идеал образует группу, что, конечно, упрощает
дело.
Теорема 2.3.3. Если S - компактная коммутативная полугруппа и Р -
некоторая идемпотентная вероятностная мера, принадлежащая сР (S), то
носитель меры Р есть подгруппа Н полугруппы S, а Р - нормированная мера
Хаара на Н.
Для доказательства заметим, что нам уже известно, что носитель Н
совпадает с ядром К¦ Но К теперь является группой (см. замечания 2.3.й),
а мы увидим в гл. 3, теорема
3.2.1, что любая идемпотентная вероятностная мера, определенная на
компактной группе, является нормированной мерой Хаара.
Теперь мы легко получаем следующий результат.
48
Гл. 2. Стохастические полугруппы
Теорема 2.3.4. Для компактной и коммутативной стохастической полугруппы
осредненные меры
Яп = ~(Р + Р**+ ...+Р-*)
сходятся к нормированной мере Хаара на наименьшем идеале К полугруппы,
порожденной множеством s (Р)
Доказательство. Мы уже знаем, что предельная мера я для
последовательности существует, является идемпотентной и имеет в качестве
носителя минимальный идеал К. Теорема 2.3.3 утверждает, что я должна быть
единственной нормированной мерой Хаара на К.
Рассмотрим теперь однородный процесс дискретного типа:
Pt*Pu = Pt+u-, t, и> О,
Ph (е) -> 1 при h | О
на компактной стохастической полугруппе S с единицей е. Соответствующие
вероятностные операторы
Ttf(s)=\i f(su)Pt(du), где f?C(S),
s
образуют мультипликативную полугруппу. Так как Th - / есть оператор,
соответствующий обобщенной мере (т. е. такой, которая может принимать и
отрицательные значения) М = Рн - 6е, то его норма является абсолютной
вариацией (см. 2.1):
|| Th-1 |i = 11М (ds) | = 1 - Ph (е) + Ph (е) = 2 [1 -Ph (е)]->0
s
при h j 0; полугруппа непрерывна в равномерной операторной топологии.
Поэтому, как известно (см. замечания 2.3.6), инфинитезимальный оператор
существует:
и
7\ = exp (tV). Оператор V допускает представления
Vf (s) = (su) В (du),
s
2.3. Компактные стохастические полугруппы 49
где В - ограниченная обобщенная мера вариации О, не имеющая отрицательной
вариации нигде, кроме точки s = е. Возвращаясь от операторов к мерам, мы
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed