Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 20

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 82 >> Следующая

Определяя st ~ t для s и t ? [0, 1], мы получим некоммутативную
полугруппу. Все ее элементы по-прежнему являются идемпотентами; ядро
совпадает со всей полугруппой. Так как Р"* = Р, предельная мера всегда
тривиальным образом существует и может иметь любой вид.
Другой, менее тривиальный пример дают матрицы второго порядка
\а.ц а12| а21 а22
с элементами аг; > 0 и нормой \\ А |[<1. Норма определяется равенством
|| Л || = шах 2 | аи |
и обладает обычным свойством ||ЛВ||<||Л ||-||В||. Это - компактная
полугруппа. Если s (Р) = S, то Е ||Л||<;
< 1 (в действительности это имеет место уже тогда, когда на множестве
|| Л || < 1 сосредоточена положительная масса), и для Вп =Л4Л2 . . . Ап
имеем
Е[| Вп || < [Е || Л |
¦ 0
при п оо, так что произведение Вп независимых эле-
ментов стохастической полугруппы сходится по вероятности к нулевой
матрице. Этого и нужно ожидать, исходя из приведенной выше теории.
Действительно, так как 0 есть идемпотентный элемент из S, то ясно, что
минимальный
идеал (ядро S) К = Г) SiS, где i - произвольный идем-
i
потент, должен состоять из одного элемента 0.
Рассмотрим подмножество 2 матриц вида
Л =
У
1 - х 1-У.
где 0<х<г/<1, оно является замкнутой] подполугруппой исходной полугруппы
S. Пусть при распределении Р распределенная масса сосредоточена на
подмножестве мно-
2.4. Примеры
61
жества 2, содержащем по крайней мере одну точку, для которой х или у 0;
1. Вводя обозначения
Av--=
получаем
xv
У\
1 -xv
1 У V
Вп - Ai ... Ап:
ип
Vn
1 Un 1 ~v,
С =
^71+1 - Уп+1 (-*71+1 Уп+\)1
Vn+ i = 71+1 (Л-П + i ' Уп+1)-
Итерируя, нетрудно убедиться, что последовательность Рп* сходится к
предельному распределению, задаваемому стохастической матрицей
'г 1-zl .г 1-4' здесь z распределено как
z = t/i + y2(*i - У1) + Уз(Х1 - yi)(x2 - у2)+ . где (xv, г/v) независимы
для различных значений v и распределены в соответствии с Р. Этот ряд
сходится с вероятностью единица, так как при сделанных предположениях Е |
х-у|< 1, так что
2l Еyu+iiXi - yi) (х2
¦Уг) ••• (** -0*)|<2[Е|*-0| 1
.ОО.
Это вполне соответствует общей теории. Действительно, идемпотенты имеют
вид
или
и, используя это, можно определить ядро, как и раньше, и получить после
некоторых выкладок, что К совпадает
(г 1 -г]
со множеством всех матриц , где 0<г<1.
(г 1 -z I
Вообще говоря, существуют "более вырожденные" предельные распределения,
при которых вся масса сосредоточена в идемпотентных элементах вида
или
0)
62
Гл. 2. Стохастические полугруппы
Заметим, что конечные или счетные стохастические полугруппы можно также
изучать непосредственно, используя теорию марковских цепей с конечным или
счетным множеством состояний.
Пусть Pt = exp *[/(Q-6,)]; и P't = exp* [t (Q'-
- Se)]-два сложных пуассоновских процесса на компактной полугруппе 5.
Если S коммутативна, то очевидно, что Rt = Pt * P't есть также сложный
пуассоновский процесс exp* [t (Q + Q' - 2бе)]. То же самое имеет место на
произвольной компактной полугруппе, если Q и Q' (или Pt и P't)
коммутируют.
Что будет в случае, когда S не обязательно коммутативна, но известно, что
Rt есть сложный пуассоновский процесс? Полагая Rt = exp* (tR), получаем
простым вычислением, что R = Q + Q' - 2бе.
Разлагая ехр* в степенной ряд и сравнивая члены второго порядка, получаем
(Q - 6e)*(Q' - бе) = (Q' - б e)*(Q - бе).
При выборе Q = Ss, Q' = fis- последнее соотношение сводится к ss' = s's.
Другими словами, если композиция двух любых сложных пуассоновских
процессов всегда дает в результате сложный пуассоновский процесс, то
полугруппа 5 должна быть коммутативной.
Учитывая роль, которую играют сложные пуассонов-ские процессы в
предельных теоремах, мы видим, что при изучении предельных теорем для
композиций неидентичных вероятностных мер мы не можем ожидать столь
простого развития теории, как в случае действительной прямой. На
действительной прямой предельные теоремы совершенно нечувствительны к
тому, являются ли компоненты идентичными или нет. На некоммутативной
полугруппе ситуация значительно более сложная.
Здесь мы коснулись указанной трудности в специальной обстановке, но то же
явление встречается во всей теории некоммутативных стохастических
структур. В данной книге мы не будем углубляться в детальное исследование
случая неравных компонент. •
Глава 3
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ; КОМПАКТНЫЙ И КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАИ
3.1. Общие замечания о стохастических группах
В этой и двух следующих главах мы будем иметь дело с локально компактными
и сепарабельными группами (см. замечания 2.1). Групповое свойство
позволит получить более подробные результаты относительно вероятностных
свойств этих структур.
Классический результат, относящийся к топологическим группам, в
первоначальном виде восходящий к Хаару, утверждает, что существует
нетривиальная инвариантная слева (регулярная) борелевская мера [х, такая,
что для любого борелевского множества Е CZ G и любого элемента g 6 G
имеет место равенство (J. (gE) = fi (Е) и (J. (О) > О для любого
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed