Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Последовательность вероятностных мер Ри Р2, Рз, ... на S называется L-
слабо сходящейся к мере т, если
J f (s) Рп (ds) -> J f(s)m (ds) (1)
s s
при n oo для любой / ? L (S). Однако мы будем чаще пользоваться следующим
определением. Если (1) имеет место для любой ограниченной и непрерывной
функции /, то мы говорим о слабой сходимости. (Из последней, очевидно,
вытекает, что предельная мера т является вероятностной.) Эти два понятия
совпадают, если S компактно. Вообще последовательность вероятностных мер
Рп слабо сходится к предельной мере Q тогда и только тогда, когда она L-
слабо сходится и Q (S) = 1. Необходимость условия очевидна. Для
доказательства достаточности заметим, что если имеет место L-слабая
сходимость Рп -+Q и Q (S) = 1, то для любого е > 0 найдется такое
компактное множество Се, что Q (СЕ) > 1 - е и Рп (СЕ) > 1 - е для всех п.
Но если / (s) - произвольная ограниченная и непрерывная функция, то мы
можем равномерно аппроксимировать ее
г) В подлиннике wague convergence". Ввиду отсутствия соответствующего
русского термина мы приняли указанный вариант.- Прим. перев.
40
Гл. 2. Стохастические полугруппы
на Сг некоторой функцией /е 6 L (S). Следовательно,
J f (s) Рп (ds) - J f (s) Q (ds) = 5 fE (S) [Pn (ds) - Q ids)] +
S S S
+ ^ If (s)-/<* (s)l (ds) - Q (ds)J +
ce
+ 5 [/00 -Ms)H^n(ds) -Q(ds)],
s-ce
где каждое из трех слагаемых в правой части может быть сделано сколь
угодно малым. Заметим также, что множество аР (S) регулярных борелевских
вероятностных мер на S компактно в L-слабой топологии (см. замечания
2Л.3).
Далее мы будем обозначать через 6S вырожденную вероятностную меру, при
которой вся распределенная масса сосредоточена на элементе s ? S. В
частности, сходимость по вероятности к фиксированному элементу принимает
вид Рп s g S.
2.2. Стохастические полугруппы
Пусть теперь пространство S имеет также алгебраическую структуру и
предположим, что она образует топологическую полугруппу. На S определено
умножение - бинарная операция, которая должна быть непрерывной функцией
обоих аргументов. Она должна быть ассоциативна, но не обязательно
коммутативна. Как и в предыдущем разделе, мы можем ввести (регулярно)
борелевскую вероятностную меру на S, и нашей первой задачей является
установление связи между вероятностными и алгебраическими свойствами S.
Пусть мы наблюдаем два случайных элемента s и t соответственно из
популяций Р и Q на локально компактной полугруппе S. Образуем новый
случайный элемент и • = st. Что можно сказать о его распределении
вероятностей? Для определения этого распределения рассмотрим
/?(/)= $ J f(st)P(ds)Q(dt),
S S
(1)
2.2. Стохастические полугруппы
41
где интеграл берется относительно прямого произведения мер Р х Q. Этот
функционал определен для всех / (Е L (S) и положителен.
Определение 2.2. Композицией Р * Q = R называется однозначно определенная
(регулярная) вероятностная мера R, удовлетворяющая соотношению
R(f)=\ f(s)R(ds).
Можно выразить композицию Р * Q и непосредственно
Теорема 2.2.1. Композиция может быть записана в виде
R(B) = P*Q(B) =J J IB (st) Р(ds) Q (dt) = Т(В) (2)
S S
для любого борелевского множества В из S. Здесь IB (s) обозначает
характеристическую функцию множества В.
Доказательство. Достаточно показать, что R (С) = Т (С) для любого
компактного множества С CZ S, так как регулярные меры определены их
значениями на компактных множествах. Покроем множество С открытым
множеством О (С а О), таким, что R (О) <CR (С) + е и Т (О) < Т (С) + е
для заданного положительного е. Введем функцию
1, если s ? С, f (s) = | непрерывна для всех s,
[ 0, если s g О.
Тогда
R(C) < \if(s)R(ds)=^f(st)P(ds)Q(dt)<
s s s
< 5 J Io(st)P(ds)Q(dt) = T(0)<T(C) + e.
s s
42
Гл. 2. Стохастические полугруппы
Аналогично
Т(С) = 5 5 Ic (s()P(ds)Q (dt) < 5 r\f(st)P(ds)Q{dt) =
s s s s
= ^ / (s) (ds) < R (0) < (C) + e,
s
и два полученных неравенства доказывают теорему (см. замечания 2.2.j).
Замечание. Если S является также топологической группой, то возможны
дальнейшие упрощения, так как очевидно, что
P*Q(B) = T(B) = J Р (Bt~1)Q(dt) = jj Q (s~1B)P (ds). s s
Мы будем часто использовать обозначение HP (S) для множества всех
борелевских вероятностных мер на S. Не очень трудно показать, что аР (S)
есть топологическая полугруппа, в которой бинарной операцией является
композиция (см. замечания 2.2.2). Также можно показать, что dll (S)
(множество всех ограниченных борелевских комплексных мер) образует
банахову алгебру (с обычным определением сложения и умножения на скаляр),
где умножение определяется как композиция, а норма как полная абсолютная
вариация.
Имеется полезное и простое выражение носителя композиции s (Р * Q).
Теорема 2.2.2. Носитель композиции Р * Q есть замыкание произведения
носителей Р и Q:
s(P*Q)=J(Py^Q)
(см. замечания 2.2.3).
Доказательство. Для того чтобы доказать, что s (Р * Q)(^s (P)-s (Q) = А,
заметим, что
P*Q (А) > jj jj /, (р) , (q) (si) Р (ds) Q (dt) >
