Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
получаем следующую теорему.
Теорема 2.3.5. Пусть Pt - однородный процесс дискретного типа на
компактной стохастической полугруппе S. Тогда существует конечная
обобщенная мера В с вариацией 0 и отрицательной вариацией только, быть
может, в единице е, такая, что
со k*
Pt = exp* (tB) = 2 f* 4r •
h=0
Так как В может быть записано в виде k (Q - 6е), где к > 0 и Q -
вероятностная мера, то
Pt = exp* [tk (Q - бе)] = exp (- tk) • exp* (tkQ) =
CO
= 2 exP k=0
так как 6e и Q коммутируют. Это дает возможность интерпретировать Pt как
сложное пуассоновское распределение, образованное заданным распределением
вероятностей Q и распределением Пуассона со средним значением kt. В нашу
задачу не входит детальное исследование выборочных функций этого
процесса, что потребовало бы введения сепарабельного варианта этого
процесса, но ясно, что они должны вести себя, как в классическом случае
прямой линии.
Вместо того чтобы требовать, чтобы Ph в указанном выше смысле, мы
потребуем теперь, чтобы Ph сходилось к некоторой мере /:
^ | (Ph - I) (ds) j -> 0 при h \ 0. s
Тогда с помощью небольшой модификации предыдущего доказательства можно
показать, что
Р, = /ехр* (tQ),
50
Гл. 2. Стохастические полугруппы
где используются прежние обозначения, а / - идемпотент-ная мера и
Q=Q*/=/*Q.
Будем предполагать теперь только, что Ph ->6е в смысле обычной слабой
сходимости. Тогда Tt есть непрерывная полугруппа в сильной топологии и
для любого / 6 С (S) имеет место сильная сходимость^/ ->•/ при h ф 0.
Поэтому из общей теории полугрупп вытекает, что имеет место сильная
сходимость
Ttf = limexp (tVef),
EjO
где
Теорема 2.3.6. Если Pt - непрерывный однородный процесс на компактной
стохастической полугруппе, то Pt есть предел сложных пуассоновских
процессов:
Pt = lim exp* (tBR),
ejO
где
Заметим, что если полугруппа 5 конечна, то операторы Pt [рассматриваемые
на С (S)] также непрерывны в равномерной операторной топологии.
Следовательно, инфините-зимальный порождающий оператор ограничен и
определен на всем С (S). Поэтому непрерывный однородный процесс на
конечной полугруппе должен быть сложным пуассонов-ским процессом.
Однородные процессы относятся к безгранично делимым законам и поэтому
уместно сделать относительно них несколько замечаний. Для начала
предположим, что Р есть такое распределение вероятностей, что для каждого
натурального п существует Рп 6 аР (G), для которого
Р = Рп* и sup п [1 - Рп (е)] < со.
71
Для любого рационального / - v/п можно определить однородный процесс Pt
(где Р± = Р) так, как это будет сделано в разд. 3.2. Для того чтобы
перейти к иррациональным значениям параметра /, достаточно (но не
необходимо)
2.3.Компактные стохастические полугруппы 51
показать, что Pt (е) -+¦ 1 при 11 О по всем рациональным значениям. А это
так, поскольку
Pt (е) = РТ (е) > [Рп (е)Г > (1 - -> 1 при -> °,
где К = sup п [1 - Рп (е)]. Следовательно, заданное рас-
Г7
пределение Р вкладывается в однородный процесс на стохастической
полугруппе и можно непосредственно использовать то, что мы знаем о таких
процессах.
В этой связи естественно доказать следующую простую предельную теорему.
Теорема 2.3.6.а. Рассмотрим последовательность вероятностных мер Ри Р2, .
. ., определенных на компактной топологической полугруппе с единицей е ?
S, Рп ? оР (S). Допустим, что с ростом п распределенная масса стремится
сосредоточиться в е\
ад-i-4+°(-j)'
и что условное распределение вероятностей Qn при условии s ф е
удовлетворяет соотношению
lim [ \ Qn (ds) - Q (ds) | = О
п-±со О о
для некоторого Q ? & (S). Тогда Р?* слабо сходятся к слож ному
пуассоновскому распределению
со
lim Pt = exp* [I (Q - /)] = e~x 2
П-+СО
V=0
В частном случае, когда Q сконцентрировано в s, т. е. Q = 6S, этот предел
является распределением Пуассона, соответствующим стохастическому
элементу вида s^\ v есть случайная величина, распределенная по закону
Пуассона со средним значением 'к.
Доказательство. Рассмотрим вероятностный оператор
Tf{t)=\f{ts)P{ds), fec(S).
52
Гл. 2. Стохастические полугруппы
Имеем
(tm) = /(ф-4 + °0!;)]+-Н f(ts)Q(ds) +
S
+ Т S f ^ (rfs)b
s
так что
71 = ^ + -(Q - Л ~Ь
где символ Q используется теперь также для обозначения вероятностного
оператора, соответствующего вероятностной мере Q, и где || Дл || = о (1
/я). Из того, что композициям Рп* соответствуют степени Тп и что
T"i=[l + ^(Q-I) + An]nf-±exp* [X(Q-I)]f,
следует утверждение теоремы.
Можно легко охарактеризовать носитель произвольного сложного
пуассоновского распределения на компактной полугруппе.
Предложение. Множество Е d S является носителем некоторого сложного
пуассоновского распределения тогда и только тогда, когда Е есть замкнутая
подполугруппа группы S с единицей.
Доказательство. Если Р :- сложное пуассо-новское распределение:
СО
P = exp*[X(Q-6e)] = e-*-2 "rQv',
v=0
со
то s (Р) = у s (Qv*) при X > 0; случай X = 0 тривиален,
о
Р2* имеет тот же вид, но с параметром 2Х, так что s (Р2*) = = s (Р) s (Р)
