Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующего Р2п*у что 1
Tinf = J К2П dE (Ц f->(Ei + E-i) f = Sf -i
при n ->oo. Здесь Ex и E-i соответственно скачки функции Е (Я) в точках К
= ± 1. Предельная для Р2п* мера (кото-
3.1. Общие замечания о стохастических группах 67
рая a priori не обязательно нормирована) должна быть идемпотентной, так
как S2 = S. Если X = + 1 не являются собственными значениями, то Tnf0, и
можно снова сделать вывод, что вся распределенная масса убегает в
бесконечность.
Пусть Р - распределение, при котором масса содержится^ в окрестности
единичного элемента е ? s (Р). Если Т имеет собственное значение 1, то
существует функция / 6 L2 (G), такая, что
f(g)=\ f(gh)P(dh).
Для того чтобы это было возможно, все функции / (gh), где h ? s (Р),
должны быть равны для почти всех g. Читателю может быть полезно
представлять себе эти функции геометрически как векторы в L2 (G). Вводя
множество
Н ={h |/(gh) =/(g) для почти всех g},
мы видим, что s (Р) должен содержаться в Я. Но очевидно, что Н является
замкнутой подгруппой группы G и должно поэтому совпадать с G. Как обычно,
мы предполагаем, что G уже выбрана так, что она является наименьшей
замкнутой подгруппой (исходной группы), содержащей s (Р). Тогда
собственная функция постоянна почти всюду на G, а такая функция может
принадлежать L2 (G), только если G компактна. С другой стороны, если G
компактна, то /(&) = ! есть собственная функция, соответствующая
собственному значению X = 1.
Это связано с тем, что было сказано выше относительно симметричных
распределений. Действительно, если Р есть симметричная мера, то
последовательность T2nf всегда сходится, так что последовательность Р2,г*
слабо сходится к некоторой мере Р°°. Предельная мера не обязательно
нормирована; она может даже обращаться в нуль [Р°° (Е) =0 для любого
компактного множества Е]. Это зависит от существования возможных
собственных значений X = + 1 оператора Т, т. е. X = 1 для оператора Т2.
Но Г2 соответствует Р2* - мере, носитель которой всегда содержит
единичный элемент е, так как Р предполагается симметричной.
68
Г л. 3. Стохастические группы
Докажем теперь следующий результат, имеющий мести при стандартных
условиях (сепарабельная, локально компактная группа) без предположения
симметричности Р.
Теорема 3.0. Образуем для заданной вероятностной меры Р (Е сР (G) средние
лп итераций Pv*:
П
*"=4-2 pv*-
V=1
Тогда лп L-слабо х) сходится к некоторой предельной мере л, для которой л
(G) < 1. При этом л есть идемпотентная вероятностная мера, т. е. л2* = л,
и либо л (G) = 1, либо л нулевая ме.ра (л =0).
Доказательство. Имея вероятностный оператор
Tf(g)= J f(gh)P(dh),
G
мы можем использовать эргодическую теорему (см. замечания 3.1.4) для
доказательства того, что
П
= = Tvf = fn
V=i
сходится при п -у оо. Достаточно считать, что / Е Z- (G). Это и будет
предполагаться ниже.
Мы утверждаем, что для любого положительного е существует окрестность N е
элемента е, такая, что
\f(g'h) - f(gh)\<? Для всех h^G,
если g'g~1 N Е. Для того чтобы это доказать, обозначим через С компактное
множество, вне которого / (g) равно нулю, и выберем некоторую окрестность
М элемента е. Множество МС компактно, и можно найти такую окрестность NЕ,
что NЕ d М, Nl1 с М и
If (x') - f(x)\<e,
если л;' ? УИС, л: (Е /ИС и х'лГ1 ? N Е. Предположим, что g'g_1 Е и
рассмотрим четыре случая. 1) Если g'h
*) См. стр. 39.- Прим. ред.
ЗЛ. Общие замечания о стохастических группах 69
И gh 6 МС И
d = \f(g'h) - f(gh)\,
то d<e. 2) Если g'h и g/г лежат вне МС, то / (g'h) = = f (gh) = 0 и d =
0. 3) Если gh ? МС, то g'h g С, так как в противном случае gh ~g
(g')~1g'h ? МС, что противоречит допущению; следовательно, d = 0. 4) Если
g'h g МС, то, аналогично, d = 0.
Равностепенная непрерывность, доказанная для функций / (gh), где h 6 G,
имеет место также для функций Tvf и функций
П
Tvf=fn-
V -1
Функции fn (g) сходятся почти наверное при п -> оо к некоторой функции ц>
(g). В силу равностепенной непрерывности fn (е) ->ф (е), так что
lirn f(h)nn(dh) = ф(е).
п~>со ^
G
Но ф (е) = 5/ есть положительный линейный функционал на L (G) и может
быть записан в виде
Sf ~ f (h) л (dh),
G
где я - мера, такая, что я (G) < 1. Она связана с оператором R, скажем в
Lz (G), формулой
Rf(g) = \ f(gh)n(dh).
G
Оператор R идемпотентен: R2 = R. Если || R || < 1, то из равенства R (R -
I) =0 вытекает R - 0 и л (G) = 0. С другой стороны, если || R |] = 1, то
должно быть я (G) = 1. В противном случае, при л (G) = k (0 < k < 1),
оператор R Ik должен был бы быть вероятностным оператором. Такой оператор
имеет норму <1, что противоречит допущению. Доказательство теоремы
закончено.
70
Гл. 3. Стохастические группы
Из этой теоремы вытекает
Следствие. Если носитель меры Р содержится в компактной подполугруппе
группы G, то л (G) = 1 и яп слабо сходится к л. Если л (G) = 1, то
носитель меры Р содержится в компактной подгруппе группы G.
Доказательство первой части очевидно. Далее, если л (G) = 1, то должна
