Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
существовать такая функция f ? Ь2 (G), что / = Tf. Рассуждая, как выше,
можно показать, что s (Р) содержится в компактной группе.
Читатель, которого удивит соотношение между двумя утверждениями
следствия, сможет лучше понять их связь, если заметит, что компактная
подполугруппа группы образует подгруппу, так как в ней имеет место закон
сокращения.
В классической теории суммирования независимых случайных величин основным
орудием является анализ Фурье. Чтобы распространить этот метод на
стохастические группы, можно попытаться ввести преобразование
P(r)= J r(g)P(dg), reR,
G
где R - множество функций г (g) на G, принимающих значения из некоторого,
пока не определяемого, пространства V. Хотелось бы, чтобы, как и в
классическом случае, имело место соотношение
Pi*Pz (г)=Р± (г)-Р2 (г).
Ясно, что в V должно быть определено сложение, умножение на скаляр и
умножение. Полагая Pt = 6^, Р2 - бg получаем
r(gig2) = r(gl)-r(gi),
а это приводит нас к рассмотрению группового представления G. Нужно
также, чтобы пространство V было достаточно широким, для того чтобы имело
место однозначное соответствие между распределениями и их
преобразованиями, Р +--> Р, Оказывается, что в коммутативном случае можно
выбрать в качестве V множество комплексных чисел е*е, по модулю равных
единице; в компактном случае следует в качестве V выбрать множество всех
конечномер-
3.1. Общие замечания о стохастических группах 71
ных унитарных матриц, в то время как в случае произвольной локально
компактной группы нужно использовать множество унитарных преобразований
гильбертова пространства. Последний случай значительно сложнее первых
двух и совсем не так хорошо изучен. Из дидактических соображений мы
сначала изучим в ближайших двух разделах компактные и коммутативные
группы, а исследование общих локально компактных групп будет отложено до
гл. 5.
Прежде чем обратиться к^анализу Фурье, рассмотрим кратко следующую
проблему. Пусть h есть гомоморфное отображение локально компактной группы
G на локально компактную группу G' (см. замечания 3.1.5).
Т еорема'3.1. Распределение вероятностей P(z3(G) индуцирует распределение
Р' ? & (G') посредством соотношения
для любой функции / 6 L (G'). Если Рп 6 3s (G) и Рп слабо сходится к Р,
то Р'п слабо сходится к Р'. Если Pt - однородный процесс на G, такой, что
lim Pt (NK) = 1, где
N - произвольная; окрестность элемента е, а К - ядро гомоморфизма, то Р\
есть непрерывный однородный процесс на G'.
Доказательство. Рассмотрим линейный функционал
Заметим, что h должно быть открытым непрерывным отображением. Если / (g')
ограничена и непрерывна на G', то / [h (g)] обладает теми же свойствами
на G, и I (f) однозначно определяет регулярную вероятностную меру Р'
на G', такую, что / (/) = \ / (g') Р' (dg'). Для любого
открытого множества О d G множество O' = h (О) СI G' открыто и Р (О) = Р'
(O').
/(/)=$ f[h(g)]P(dg).
72
Г д. 3. Стохастические группы
G'
¦И
G G
Пусть теперь Рп слабо сходится к Р. Отсюда непосредственно вытекает
слабая сходимость Р'п->-Р'. На самом деле достаточно было бы
предположить, что Р" сходится слабо к Р по модулю К; читатель легко
придаст этому утверждению точное значение и без труда его докажет.
Теперь пусть Pt - однородный процесс. Для любой ограниченной и
непрерывной функции / (g') имеем
J f (?') Pt+s (dg') = jj f [h (g)] Pt+s (dg) =
G
= f (xy)] Pt (dx) Ps (dy) =
G G
f [h (x) h (y)\ Pt (dx) Ps (dy) =
= 55 f(x'y')pt (dx') P s (dy'),
G' G'
откуда вытекает, что P't+S = P't * P's, так что P't - однородный процесс.
Для того чтобы убедиться в том, что P't также слабо непрерывен,
предположим, что / непрерывна и ограничена, и учтем, что
J f (g') P't (dg') =[f[h (g)] Pt (dg) f (e') = J f (g1) 6,. (dg'),
G' G G'
так как вероятностная масса Pt предполагается сходящейся к ядру К
гомоморфизма и h (g) = е' при g 6 К. Следовательно, P't слабо сходится к
6eS что и утверждалось.
Если группе G придана вероятностная структура с распределениями,
однородными процессами и предельными законами, то из теоремы 3.1 вытекает
ее аналог для факторгруппы F =G/N, где N есть замкнутая нормальная
подгруппа (нормальный делитель). Надо только использовать естественный
гомоморфизм G на F.
Надо сказать несколько слов об определении однородных случайных процессов
на группах. Чтобы прийти к определению, более соответствующему обычному
для случая прямой, чем определение 2.2.3, можно было бы сказать, что
однородный процесс на группе - это слу-
3.2. Компактные стохастические группы
73
чайный процесс g(t), 0<оо, принимающий значения из G и такой, что
случайные элементы g'1 (tv) g (tv+1),
0 < tx < t2 < . . . , независимы (это может быть названо левой
инвариантностью и, конечно, можно было бы использовать также правую
инвариантность) и распределение вероятностей g"1 (t) g (s) зависит только
от разности 5 - t. Если, кроме того, почти все выборочные функции
непрерывны, естественно говорить о броуновском движении на группе.
