Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
П
2ру= 2 pv = 2ph==i>
i=i \=Нг sj "
где во второй сумме j фиксировано, a i пробегает все значения от 1 до п.
Таким образом, матрица переходных вероятностей является дважды
стохастической х). Предельное распределение является тогда просто
равномерным: Р (s = = sv) =1 /п. Аналогичным образом можно рассмотреть
более интересные случаи с большим числом нулей в матрице переходных
вероятностей.
2.4. Примеры
Поясним сказанное небольшим числом простых примеров. Рассмотрим
стохастическую полугруппу второго порядка со следующей таблицей
умножения:
1 2
1 1 2
2 2 2
Это -• коммутативная полугруппа. Матрица переходных вероятностей имеет
вид
_ fPi Рг (О 1 '
где pi = Р (1), р2 = Р (2). Если pt > 0 и р2 > 0, так что s (Р) = S, то
существует предельное распределение с Р (1) = О, Р (2) = 1. Только в
случае pi = 1, р2 = О
х) То есть, как сумма элементов, стоящих в одном столбце матрицы, так и
сумма элементов, стоящих в одной ее строке, равна единице.- Прим. перев.
2.4. Примеры
57
на элементе 1 в предельном распределении сосредоточена положительная
масса, и тогда Р (1) =1.
В тех же обозначениях, но с таблицей умножения
1 2
1 1 2
2 2 1
соответствующей коммутативной группе, матрица переходных вероятностей
имеет вид
P = {Pl Р2\
УР2 Pi] '
Если Pi >¦ 0 и р2 > 0, то существует равномерное предельное распределение
Р (1) = Р (2) на носителе меры Р. Если pi = 0, то предельного
распределения не существует, но среднее по Чезаро мер Рп* является
равномерным распределением. Если pi = 1, то существует равномерное
предельное распределение Р (1) = 1 на носителе меры Р.
Пусть S - множество точек интервала [0, 1 ] с бинарной операцией st = max
(s, t). Для заданного распределения Р на [0, 11 пусть М есть верхняя
грань s 6 5 относительно этой меры Р: М = sup s; Р [0, s] <1. Конечно,
достаточно ограничиться подполугруппой [О, М]. Все элементы S являются
идемпотентами, и ядро К подполугруппы [О, М\ состоит из единственного
элемента М. Из общих соображений ясно, что среднее по Чезаро мер Рп*
имеет всю массу распределенной на ядре К; в этом специальном случае
последовательность Рп* сходится к вырожденной предельной мере с Р (М) =
1.
Пусть случайные величины хп1, хп2, . . ., хпп независимы и имеют функцию
распределения Fn (х) на [0, 1]. Тогда (полугрупповое) произведение хп1хп2
. . . хпп имеет функцию распределения Fn {х). Если предположить, что
предел
G(x) = lim п[ 1 - Fn (x)]
58
Гл. 2. Стохастические полугруппы
существует на [О, 1], то последовательность Р][* стремится к предельному
распределению с функцией распределения
на [0, 1]. Функция G (х) не возрастает, и G (1) = О, G (0) <+ оо. Ее
можно интерпретировать как асимптотически ожидаемое число значений хп1,
хп2, ¦ ¦ ¦ , хпп, попадающих в интервал (х, 1]. (Отметьте связь с
классической теорией "крайних значений" вариационного ряда.)
Какой вид имеют непрерывные однородные процессы Pi? Описывая р, функцией
распределения Ft (х), мы видим, что, поскольку Ft (х) удовлетворяет
соотношению
где G (х) есть функция, обладающая указанными выше свойствами. Легко
найти инфинитезимальный порождающий оператор для {Pt}-Действительно,
пусть / (х) ? С' (S), где С' (S) - множество непрерывных функций на S = =
[0, 1], для которых интеграл
сходится. Последнее ограничение относится к поведению / (х) только в
точке х = 0, поэтому С'(5) всюду плотно в С (S). Имеем
F (х) = exp [ - G (л:)]
Ft+S (х) = Ft (x)*Fs (х) = Ft (х) Fs (х),
она должна иметь вид
Ft (х) = exp [ - tG (а:)]
о
0
1
X
i
= - \ If (у) - f (*)] exp 1-hG (у)] G (dy).
eJ "
X
2.4. Примеры
59
При h -у 0 эта величина сходится к
1
Л/(*)=-$ [f(y)~f(x)]G(dy),
X
так что оператор А с областью определения C'(S) является
инфинитезимальным. Если, в частности, значение G (0) конечно, то Л -
ограниченный оператор, Pt - сложный пуассоновский процесс и
СО
v=0
где Н (х) = X - G (х), X = G (0).
Возникает вопрос о существовании нормальных процессов на S, т. е.
существует ли непрерывный однородный процесс Pt с независимыми
приращениями, почти все выборочные функции которого непрерывны. Мы имеем
дело только с сепарабельными процессами. Рассмотрим непрерывный
однородный процесс xt. Пусть п - большое число. Тогда можно записать
xv/n = шах , т^")], 0 < v < п,
где случайные величины независимы и имеют общую функцию распределения
^1/п(*) = ехр [ --i-G(x)] .
Рассмотрим точки а и Ь, такие, что 0 С а С & С 1 и G (Ь) > 0. Тогда
вероятность того, что в последовательности т](2п>.........имеется п - 1
значений из [0, а]
и одно значение из (b, 1], равна
"ехР ( _^7ГС(а)) [ 1 - ехР С -^ G^0 1 '
Для больших значений п это приближенно равно р - G (b) exp [ - G (а)] >
0.:
Но отсюда вытекает, что с вероятностью р - е некоторое приращение
x(v+1)/" - xv/n больше, чем b - а. Следова-
60
Гл. 2. Стохастические полугруппы
тельно, с вероятностью единица процесс не является непрерывным и не
существует никакого нормального процесса на этой полугруппе.
