Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Изучение отдельных выборочных функций, однако, не входит в задачи этой
книги.
3.2. Компактные стохастические группы
Изучим сначала идемпотентные меры на компактной группе G. Они полностью
характеризуются следующей теоремой.
Теорема 3.2.1. Если Р 6 & (G) есть идемпотентная мера на компактной
группе G, то s (Р) - замкнутая подгруппа Н группы G, а Р - нормированная
мера Хаара на Н.
Доказательство. Рассмотрим рассуждение, использованное в разд. 2.3 для
доказательства соответствующей теоремы. Можно применить ту же идею,
учитывая, что теперь Н = s (Р) удовлетворяет условию Я2 = Я, так что Я
является подгруппой (см. замечания 2.3.2), Тогда идеал I равен Я и
функция g достигает своей верхней грани на всем Я, т. е. g постоянна, и Р
есть инвариантная мера на Я.
Перейдем теперь к анализу Фурье распределений вероятностей на компактных
группах. Прежде всего вспомним основные факты, относящиеся к унитарным
представлениям таких групп. Под унитарным представлением степени п мы
понимаем функцию М (g), значениями которой являются унитарные квадратные
матрицы порядка п, М (g) = = {та (g)'; i, / = 1, 2...п}, причем /пг/ (g)
- непре-
рывные функции на G и функция М (g) удовлетворяет основному соотношению М
(gi) М (g2) = М (gig2) для всех gi-, gz € G. Такое представление
называется неприводимым,
74
Гл. 3. Стохастические группы
если не существует подпространства унитарного я-мерного пространства,
инвариантного слева относительно М (g) для всех] g ? G. Вместо
представлений правильнее было бы говорить о классах эквивалентных
представлений: два представления Mi(g) и М2 (g) называются
эквивалентными, если Mi (g) = АМг (g) A"1, g 6 G. Из каждого класса
эквивалентности мы выберем по одному представителю.
Если г пробегает множество R всех неприводимых неэквивалентных унитарных
представлений, то различные компоненты т\? (g) образуют множество функций
на G, обладающее интересными свойствами. В гильбертовом пространстве L2
(G) имеет место соотношение ортогональности: tnty (g) l_m%i (g) при г Ф
s. Далее, я2 элементов матрицы М(g) ортогональны друг другу и имеют норму
п"1^. Для сепарабельных групп, с которыми мы имеем дело, пространство L2
(G) сепарабельно и, следовательно, R счетно, так что его элементы могут
быть занумерованы индексами г = О, 1, 2, , где индексом г - О
отмечается
тождественное представление М (g) = I.
Основной результат, теорема Петера - Вейля, утверждает, что множество
всех функций т[? (g) полно в L2 (G). Оно даже равномерно полно, т. е.
каждая непрерывная функция на G может быть равномерно аппроксимирована
конечными линейными комбинациями функций т$ (g)-Вследствие этого для
каждого g ф е существует такое г, что УИМ (g) Ф /, или, иными словами,
неприводимых представлений достаточно много, чтобы разделить элементы
группы.
Это естественным образом приводит к следующему определению.
Определение 3.2.1. Под преобразованием Фурье вероятностной меры Р на
компактной группе G понимается последовательность матриц
РГ = ЕM(r) (g) = J М{Т) (g) (Р) (dg), г = 0, 1,2,....
G
Интегрирование по G здесь интерпретируется, конечно, как интегрирование
матрицы по элементам. Перейдем
3.2. Компактные стохастические группы
75
теперь к изучению основных свойств таких преобразований Фурье.
Теорема 3.2.2. Преобразование Фурье распределения вероятностей на
компактной группе обладает следующими свойствами.
а) Распределение вероятностей Р однозначно определяется
преобразованием Рг, г = О, 1, 2, . . .
б) Пусть Р, Р^1), Р<2>, . . .-• последовательность рас-
пределений вероятностей и РТ, Р?\ Pf1 . . .- их преобразования Фурье.
Тогда Р(п> Р эквивалентно Р{гп) -+РГ
для всех г = 0, 1,2, ...
в) Композиции двух вероятностных мер соответствует
умножение преобразований Фурье, Р^ * Р<2> = PW • Р(2).
г) При любом г матрица РТ представляет ограниченное линейное
преобразование, ||РГ||<:1. Для тождественного преобразования, г = 0,
имеем Р0 = /.
Доказательство. Заданную непрерывную функцию / (g) на G можно равномерно
аппроксимировать конечными линейными комбинациями элементов (g). Если р(
1) = р( 2)> Т0
f(g)Pi№)=\ fig)P*{dg)
G
для любой непрерывной функции f{g), что доказывает а).
Точно так же из Р<п) Р следует, что для каждой непрерывной функции /(g)
lim \ f (g) Рп (dg) f(g)P (dg),
G G
т. e. Pn ->-P. To, что из Pn-+P вытекает Pn -+P, очевидно. Отображение P
P является гомеоморфизмом.
76
Гл. 3. Стохастические группы
Для доказательства в) достаточно заметить, что
2" = м {gig2) pa) {dglyp<" {dg2) =
G G
= J M (gi) P(V (dgi) J (dg2) = P"'.P<".
G G
Отображение P -^P является изоморфизмом.
Последнее утверждение теоремы, г), вытекает из равенства || МТ (g) || =
1, g EG, так как Р - вероятностная мера. Для г = 0 представление Mr (g)
есть просто тождественное представление I, и Р0 = Е/ = /.
Для заданного множества матриц А0, Ait А2, ¦ ¦ ¦ было бы интересно знать,
найдется ли такое Р ? сР (G), что Рт = Ат, г = О, 1, 2, . . . , и
построить в этом случае Р по А (обращение преобразования Фуоье). В
