Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Другой пробел заключается в следующем. Предположим, что ф (х*) есть
комплексная функция на X*, непрерывная пох*, удовлетворяющая условиям ф
(0) = 1, ф (-х*) - = ф (х*), и положительно определенная. Существует ли
такое распределение вероятностей Р на X, что ф (я*) = = Р (х*)? И снова
ответ - не всегда. Можно заподозрить,
1.4. Исторические предпосылки
31
что все дело в понятии "непрерывности". Мы интерпретировали ее как
"сильную непрерывность". Если вместо этого рассматривать слабую
сходимость, то мы все еще не придем к правильному утверждению.
Колмогоровым [3] для гильбертова пространства было показано, что для
этого должна быть использована другая сходимость (S-сходимость), и это
дает частичное решение задачи. Другое, более общее, но несколько более
сложно формулируемое условие было дано Мурье [1].
Эта теория быстро развивается.
1.4.4. Можно разумно наделить вероятностной структурой и другие
пространства. Если пространство обладает некоторыми линейными свойствами,
то положение аналогично случаю банахова пространства. Гель-фанд [1] и К.
Ито [2] ввели вероятностные меры во множестве обобщенных функций
распределений Шварца. Эта работа была продолжена Ульрихом [ 1 ] и
другими. Анализ Фурье по-прежнему остается, конечно, главным
инструментом.
Другой линией развития являются общие метрические пространства. Несмотря
на то что в таких пространствах можно определить распределения
вероятностей и даже средние значения и т. п., ясно, что мы не можем
получить результаты, подобные описанным выше, не определив сложения или
какой-нибудь другой бинарной операции. Поэтому это направление выходит за
пределы настоящей книги и не будет обсуждаться в дальнейшем.
1.4.5. Если какое-нибудь понятие должно быть выделено в нашей теме
как центральное, то это, безусловно, понятие стохастической группы.
Линейные пространства являются группами относительно сложения, но, кроме
этого, обладают рядом других Свойств. Можно получить другие ценные
результаты, если вместо линейности предположить (локальную) компактность
топологической группы.
В литературе существуют несколько изолированных, но важных ранних
исследований в этом направлении. Уже в 1928 г. физические рассмотрения
привели Перрэна [1 ] к рассмотрению стохастической группы на группе
вращений в трехмерном пространстве. Несмотря на специальный характер
этого исследования, оно содержит весьма общие идеи.
32
Гл. 1. Исторические предпосылки
То же можно сказать и о работе Леви [Г], в которой подробно
рассматривается группа вращений окружности.
Прорыв был сделан в 1940 году работой Кавада и К. Ито [1]. Эта работа,
которая до последнего времени была почти незамеченной, значительна и по
своим результатам и особенно по своим методам. Авторы исследовали
поведение композиций Рп* на компактных группах и установили, что
возможные предельные распределения представляют собой меры Хаара на
некоторых подгруппах. Для того чтобы доказать это, они использовали
анализ Фурье, сильно опирающийся на теорию унитарных представлений
компактных групп. Рассмотрим полную систему неприводимых унитарных
представлений
u0{g) = l, u^g), U2(g), ....
Все эти Uj (g) могут быть заданы как унитарные матрицы в конечномерных
пространствах. Преобразование Фурье распределения Р определяется тогда
как
Pj=l Uj (g)P(dg); / = о, 1, 2, ....
а
Так как эти преобразования Фурье ведут себя подобно характеристическим
функциям, то они хорошо приспособлены для доказательства предельных
теорем и т. п., что и было использовано К. Ито и Кавада.
Эти результаты были заново открыты, модифицированы и обобщены рядом
авторов, среди которых нужно указать, в частности, Стромберга [1], Клосса
[1] и Урбаника [1]. Конечные группы изучались Воробьевым [1], Дворецким и
Вольфовицем [1] и Бёге [1]; последний изучал безгранично делимые законы.
К настоящему времени теория компактных стохастических групп уже
построена; возможно, нельзя утверждать, что она закончена, но она дает
ответ на некоторые из основных вопросов. Оглядываясь назад, можно было бы
думать, что компактность настолько упрощает задачу, что она может быть
решена без помощи тонкого аналитического аппарата. Однако, это было бы
недооценкой исходных концептуальных трудностей. Полученные результаты
указывают также путь для дальнейшего развития.
1.4. Исторические предпосылки
33
1.4.6. Если предположить, что группа только локально компактна, то мы
встретимся с дополнительными трудностями. Понятие преобразования Фурье
обобщается достаточно просто, но его основные свойства не устанавливаются
автоматически. Результаты в этом направлении были получены в работах
Гренандера [3, 4], там же приведены некоторые результаты, установленные с
помощью анализа Фурье.
Для этой цели им была использована теория представлений локально
компактных групп, развитая Годеманом, Наймарком и др. Это привело к
теоремам, аналогичным закону больших чисел, и центральной предельной
теореме. Было также показано, что существуют простые ситуации, в которых
