Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
23
силами и в которой частицы или силы имеют случайные характеристики. Часто
можно представлять, что действие частицы на следующую в цепи описывается
матрицей передачи. В простейшем случае это квадратные матрицы второго
порядка. Они комбинируются с помощью обычного умножения матриц. Если эти
стохастические матрицы независимы, то положение аналогично описанному
выше. Однако вычисления показывают, что соответствующие группы не всегда
являются компактными. Это приводит к крайнему возрастанию степени
математических трудностей при попытке найти математический инструмент для
решения этой стохастической задачи. Как мы увидим в дальнейшем,
существуют новые и фундаментальные проблемы уже в формулировании
соответствующих предельных теорем (см. замечания 1.3.4).
Представим себе цепь приборов совершенно общего физического характера.
Если действие такого прибора может быть описано матрицей передачи, то мы
все еще в знакомой обстановке. Пусть цепь описывается линейным
(разностным) (уравнением
ип+р + Н------Ъ a\lj)un = vn,
в котором правая часть может быть детерминированной или случайной,
возможно, тождественно равной нулю, а коэффициенты atf) случайны.
Рассмотрим векторы
f Un+p | Un+p- 1
: }-I ^n+l I (, J
Тогда ?n+1 = Mnln + f)n, где Mn есть стохастическая матрица. В частности,
если все г) равны нулю, мы получаем модель, тесно связанную с предыдущей.
Так как стохастические свойства матрицы передачи можно выбрать различными
способами, то можно ожидать большого числа различных, хотя и родственных
друг другу, результатов. В качестве примера упомянем случай волноводов со
стохастической неоднородностью. Используя аппро-
24
Гл. 1. Исторические предпосылки
ксимацию дискретной цепью, можно описать этот случай в терминах
(комплексных) коэффициентов отражения. Оказывается, что этот путь
приводит к изучению распределений вероятностей на открытом единичном
круге | г J с 1, причем закон композиции определяется соотношением
г1 + г2 *1 0 Z2 = -Г-=- •
1 + г1г2
Множество дробно-линейных преобразований
Zl+Z
1+г1г
образует хорошо известную группу преобразований, оставляющих инвариантной
единичную окружность. Наша задача, таким образом, аналогична предыдущей и
заключается в изучении распределения вероятностей композиции Zi о z2 ° .
. ¦ о zn большого числа независимых и одинаково распределенных групповых
элементов zv.
Если разностное уравнение нелинейно, то матрицы нужно заменить
нелинейными операторами. Мы снова можем прийти к стохастическим группам,
во всяком случае, если эти операторы несингулярны. Однако, может быть, их
стоит рассматривать как элементы стохастической алгебры, и этот подход
имеет очень интересные приложения, как мы увидим в последней главе. Об
этом рано говорить, но достаточно указать на увлекательную проблему
определения спектральных свойств элементов таких стохастических алгебр.
Может случиться, что пространственно-временная шкала физической задачи
такова, что дифференциальное уравнение дает лучшее описание физической
картины, чем приведенное выше разностное уравнение. Ему будут
соответствовать случайные процессы со значениями из группы, алгебры и т.
п.; по всей вероятности, это будут процессы с "независимыми
приращениями". Особенно важны бесконечно малые преобразования, так как
они допускают простую и конкретную физическую интерпретацию.
Заметим, что до сих пор все пространства, на которых рассматривались
распределения вероятностей, были локально компактными.
1.3. Практические предпосылки теории
25
1.3.5. Обратимся теперь к задаче обнаружения сигнала. Мы наблюдаем
случайный процесс х (t), t 6 (О, Т). Для простоты предположим, что х (/)
есть нормальный процесс с известной корреляционной функцией, но с двумя
гипотетическими средними Н0: Е х (t) = 0; Н^ Е х (t) = m (t)\ t 6 (0, T).
Нулевая гипотеза соответствует случаю, когда сигнала нет, а есть только
шум. При альтернативной гипотезе х (t) содержит сигнал. Мы хотим найти
критерий для различения этих двух гипотез.
Подробные статистические задачи решаются сейчас следующим образом. Двум
гипотезам соответствуют две вероятностные меры Р0 и в некотором
вероятностном пространстве Q. Вычисляется производная Радона - Никодима р
(ш) = Pi (da>) IP0 (da), если Рх абсолютно непрерывна относительно Р0, и
образуется критическая область Неймана - Пирсона
W = {(c) | р (со) > с}, где константа с выбирается так, чтобы вероятность
Р0 (W) имела приемлемое значение. В этом случае мы имеем дело с линейной
задачей, и можно найти р (со) простым применением методов гильбертова
пространства. При таком подходе мы рассматриваем процесс как континуум
случайных величин, каждая из которых представляется точкой в гильбертовом
пространстве. Следовательно, мы не специфицируем индивидуальные
выборочные функции. С некоторой точки зрения более привлекательным (хотя,
возможно, не более практичным) было бы начать с индивидуальных выборочных
функций, оперировать с ними по соответствующей схеме и получить критерий
