Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
образом. Сложим эти числа и выделим дробную часть суммы:
xw _|_ xw _u . . . -j- х(п) = Натуральное число + gn.
Если п велико, то можно надеяться, что распределение стабилизируется
около равномерного распределения (по возможным значениям), т. е. около
полностью известного распределения. Очевидно, что здесь мы имеем дело с
циклической группой Z порядка 10й. Эта задача настолько проста, что она
может быть решена непосредственно совершенно элементарными методами.
Однако в этом решении скрыт зародыш более общей идеи, которая будет
обсуждаться в дальнейшем.
1.3.2. Пусть - стационарная нормальная последовательность со средним
0 и корреляционной функцией rh = Е ltlt+h', t; h = 0, ±1, ±2, . . .. Если
lt проходит через фильтр, мгновенно реагирующий на входной сигнал, так
что на выходе мы получаем достаточно хорошую функцию g (?*) от то мы
можем изучать свойства функции на выходе. Как это часто бывает в случае
стационарных процессов, здесь предпочтительнее работать со спектрами, а
не со вторыми моментами.
1.3. Практические предпосылки теории 21
Вычисления приводят нас к представлению спектральной функции выхода в
виде линейной комбинации спектральных функций, соответствующих
корреляционным функциям rjt\ v = 0, 1,2, ... На языке частот К это
равносильно образованию последовательных композиций исходной спектральной
функции F (X):
rh F(K)
r\ F * F (A)
rfc F*F*F (I)
Хотя некоторые из этих композиций и могут быть вычислены непосредственно,
ясно, что для композиций более высокого порядка можно использовать
аппроксимации. Можно записать F = аЧ}, где G есть обычная (нормированная)
функция распределения, а сх2 -дисперсия на входе. Тогда имеем
F * (I2 G *.
В интегралах, определяющих Fn* и G"*, мы отождествляем частоты,
отличающиеся множителем 2л. Другими словами, мы имеем дело со сложением в
группе Т1 на одномерном торе, G определяет распределение вероятностей на
этой группе, a Gn* есть результат "сложения" п независимых и одинаково
распределенных элементов группы. Мы получим полезную аппроксимацию, если
покажем, что Gn* сходится к некоторому предельному распределению. Снова
почти очевидно, что такое предельное распределение, если оно существует,
должно обладать свойством равномерности (т. е. инвариантности, см.
замечания 1.3.2).
Сказанное выше может быть почти слово в слово повторено применительно к
группам Tk на ^-мерном торе; в принципе решение столь же просто и при
больших k.
Отметим, что до сих пор нам встречались только коммутативные группы.
1.3.3. Рассмотрим теперь физическую систему (жидкость, газ) с
частицами, совершающими броуновское движение. Для конкретности
предположим, что среднее значение сноса равно нулю и что движение
изотропно. В эту систему погружен шар с фиксированным центром; движение
шара
22
Г л. 1. Исторические предпосылки
связано силами трения с движением окружающей среды (см. замечания 1.3.3).
В заданном интервале времени (tlt t2) шар вращается, и это вращение мы
обозначим Oj. Полезно представить себе одну фиксированную систему
координат и одну подвижную, перемещающуюся вместе с шаром. В координатной
форме Oi выражается ортогональной матрицей. Так или иначе,
Oi есть случайное вращение. В следующем интервале времени (/2, t3)
происходит новое вращение 02, стохастически независимое от первого при
некоторых условиях (отсутствие инерции...), и т. д. Наконец, в интервале
(tn, tn+1) происходит вращение Оп. Полное вращение за время (U, tn+i)
будет тогда Rn = Oj 02 ... 0п. Чтобы изучить поведение Rn при больших
значениях п, мы должны рассмотреть предельные вероятностные законы на
ортогональной группе. Здесь мы сталкиваемся с интересным обстоятельством.
В предыдущих примерах группы были коммутативными, но при композиции
вращений порядок выполнения операций существен. Это свойство
некоммутатив-носпш вызывает соответствующее усложнение используемого
математического аппарата.
В этом примере броуновское движение действовало на очень простое
физическое тело, а именно на шар. Нетрудно представить реальные ситуации,
в которых шар заменяется другим твердым или упругим телом или в которых
рассматриваются не механические, а электрические системы. Каждый раз,
когда мы можем выписать дифференциальные уравнения, управляющие
поведением системы, мы будем приходить к аналогичным, хотя, может быть, и
более сложным, задачам. Объектом изучения будут группы Ли, целью -
введение вероятностных структур на таких группах. В случаях когда эти
группы компактны, можно надеяться отыскать предельные (равномерные)
распределения, и читателю может прийти мысль о мере Хаара. И он будет
прав; это понятие будет играть здесь основную роль. Конечно, при этом
несущественно, что группы являются группами Ли, важно, что они компактны.
1.3.4. Неупорядоченная линейная структура есть одномерная цепь частиц
(слово это может пониматься очень широко), в которой смежные частицы
связаны упругими
1.3. Практические предпосылки теории
