Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
конкретной работе, когда вероятностное пространство наделяется
определенными структурными свойствами. Классические результаты^
показывают, что можно добиться успеха, определяя алгебраические отношения
в пространстве и связывая их с распределениями вероятностей. Это
автоматически заставляет нас обратиться к таким понятиям, как группы,
топологические векторные пространства и алгебры. Трудно возражать против
такой постановки вопроса: возможна ли на этих более общих алгебраических
структурах теория, аналогичная классической теории вероятностей? В
следующих главах мы увидим, что иногда это распространение достигается
непосредственным и тривиальным обобщением., иногда требуются серьезные
усилия для достиже-
12
Гл. 1. Исторические предпосылки
ния более глубоких результатов, а иногда мы встречаемся с увлекательными
проблемами, решение которых пока или совсем неизвестно или известно лишь
частично.
То, что теория вероятностей так сильно выросла за последние годы,
объясняется, конечно только отчасти, ее внутренней ценностью и ее
непосредственной привлекательностью для математиков, но не меньшую роль
сыграла и ее полезность, уже эксплуатируемая или потенциальная. Это
относится также и к нашему вопросу. Его оправдание состоит не только в
желании распространить теорию до ее естественных границ. Существует также
некоторое число, казалось бы далеких, задач из физики, теории связи,
статистики и т. д., которые приводят нас к рассмотрению вероятностных
отношений на алгебраических структурах, не эквивалентных действительной
прямой (или пространству Rh). Поскольку все большее число таких задач и
результатов приобретает широкую известность, мы можем ожидать
возрастающей исследовательской активности и более быстрых успехов, как
практических, так и теоретических, в этом направлении.
Мы не сразу погрузимся in medias res1). Сначала мы вспомним некоторые
основные факты и приемы классической теории (в разд. 1.2), затем опишем
некоторые задачи, поставленные приложениями (в разд. 1.3), и, наконец, в
разд. 1.4 дадим очерк исторического развития теории до ее современного
состояния.
1.2. Классические методы и результаты
1.2.1. С разрешения читателя мы начнем с краткого описания некоторых
фактов элементарной теории вероятностей.
С действительной прямой R1 связано некоторое число основных определений
теории вероятностей, которые мы будем предполагать известными, так же как
и соотношения между ними:
вероятностная мера; борелевская мера; случайная величина; независимость;
*) In medias res - в суть дела (лат).- Прим. перев.
1.2. Классические методы и результаты
13
различные типы сходимости случайных величин; сходимость (слабая)
распределений вероятностей. Сейчас для нас наиболее интересны те
соотношения, которые используют аддитивные свойства действительных чисел.
Пусть Ри Р2 - две вероятностные меры, скажем, определенные своими
функциями распределения:
Ft(y) = Pi{x\x<y}\ /=1,2.
Если каждой Рг соответствует случайная величина xt, i = 1, 2, то сумма х
= + х2 имеет распределение
вероятностей Р, задаваемое функцией распределения F (х). Если Xi и х2
независимы, то F есть композиция Ft и F2, т. е.
со
F(x)= ^ Fi (х - у) F2 (dy),
- со
или, короче, F = Fi * F2. Существует хорошо известная модификация этой
формулы в предположении, что эти распределения абсолютно непрерывны
относительно меры Лебега или относительно "считающей меры"1) на множестве
целых чисел; скажем, если плотности определяются формулами
f t Y\_F (dx) " е /г\_ Fi (dx)
l(X>~m(dx) tiW- m(dx) >
TO
f (x) = J fi (x - y)h(y)m(dy).
Заметим, что в обоих случаях т есть мера, инвариантная относительно
сдвига. Операция композиции коммутативна: Fi * F2 == F2 * Fi, и
Ассоциативна: (Fi * F2) * F3 =
= Fi * (F2 * F3). По индукции определяется Ft * F2 * . . . ... * Fn (x).
Изучение таких композиций, особенно при больших п, является одной из
главных задач теории вероятностей.
"Считающая (counting) мера"- мера, сосредоточенная на множестве целых
чисел и для каждого из них равная единице,- Прим. ред.
14
Гл. 1 Исторические предпосылки
Отметим ряд элементарных соотношений. Если существуют средние значения
со
Щ- \ xFt(dx) = Ext; i - 1, 2, п,
- оо
то операция образования среднего значения
т = Ex = nii + т2 + ... -j- тп аддитивна. Если вторые моменты существуют,
то дисперсии D (xi) - Е (xt - тг)2 = с?
удовлетворяют соотношению
D (х) - CTj -(- -f- . . . -f- On
при условии, что случайные величины x-t независимы. При этой гипотезе
операция образования дисперсии аддитивна, и в силу неотрицательности
дисперсия не убывает при добавлении к случайной величине независимого от
нее случайного слагаемого. В этом смысле (и во многих других) при
композиции распределения "расплываются". Композиция также сглаживает
распределения, например в том смысле, что если одно из xt имеет
непрерывное распределение, то и распределение суммы х = + . . . +
хп
также непрерывно.
Наиболее важным аналитическим инструментом для нас является
