Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
поведении суммы случайных величин
18
Гл. 1. Исторические предпосылки
и выраженные в терминах простых свойств индивидуальных функций
распределения. Это составляет в известном смысле законченную теорию,
изложенную с замечательной ясностью и точностью в книге Гнеденко и
Колмогорова "Предельные распределения для сумм независимых случайных
величин", представляющей собой monumetitum аеге perennius х) в литературе
по теории вероятностей.
1.2.3. Оказывается весьма полезным построение случайного процесса,
соответствующего данной предельной теореме. Эта идея, выдвинутая и
систематически проведенная в книге Хинчина "Асимптотические законы теории
вероятностей", основана на понятии случайного процесса с независимыми
приращениями. Так называются процессы х (/), для которых приращения h = х
(t2) - х (/Д 12 =
= х (t3) - х (/2), • ¦ In = х (t) - х (tn) являются независимыми
случайными величинами при 0 = < /2 < • • •
• • • < tn < t. Особенно важны однородные процессы, для которых
распределение Ph любого приращения х (t + h) -
- х (t), h >0, зависит только от h (но не от /). Такие процессы
называются непрерывными по вероятности, если Ph ->- 6о (слабо) при h i 0;
символом б* мы всегда обозначаем вырожденное распределение, при котором
вся масса сосредоточена в точке х.
Полагая х (0) = 0, можно записать х (/) как сумму независимых случайных
величин
X (t) = El + ?2 + . . . +
Если х (/) обладает свойствами, определенными выше, то очевидно, что х
(/) должно обладать безгранично делимым распределением при любом t > 0.
Легко также показать, что характеристическая функция ф (z, t) величины х
(/) должна иметь вид
ф(г, 0 = [^(z)]f.
где г|з (г) есть характеристическая функция (скажем, в представлении Леви
- Хинчина) некоторого безгранично делимого распределения, а именно
распределения х (1).
*) Неразрушимый, вечный памятник (Гораций, Оды, кн. III, 30).- Прим.
перев.
1.2.Классические методы и результаты
19
Теперь соответствие между процессом и связанной с ним предельной теоремой
интуитивно ясно, хотя его и не так легко установить с полной строгостью и
во всех подробностях. Локальные свойства выборочных функций процесса
(непрерывность, возможная величина скачков и т. д.) определяются функцией
G в представлении Леви - Хинчи-на. Укажем только, что если выборочные
функции непрерывны почти наверное (в предположении сепарабельности
процесса), то G постоянна, за исключением и = О, так что
характеристическая функция имеет вид
ф(г, /) = exp [/ Qmz ] ,
соответствующий нормальному процессу. Подробное изложение читатель найдет
в книге Дуба [1 ]. Пуассоновский процесс является другим легко
разбираемым примером.
С другой стороны, известно, что функция G предельного закона может быть
выражена через функции распределения слагаемых xnh. Это устанавливает
логическую связь между поведением этих слагаемых в предельной теореме и
локальными свойствами выборочных функций соответствующего случайного
процесса с независимыми приращениями.
В математическом аппарате, используемом для доказательства классических
предельных теорем, анализ Фурье занимает, конечно, центральное место, но
в некоторых специальных случаях проще использовать преобразование
Лапласа, моменты и т. п. Иной подход используется при установлении
соответствия, о котором говорится в данном разделе. Выводится
функциональное уравнение, описываю' щее поведение распределений
соответствующего процесса. Это может быть уравнение теплопроводности,
уравнение Фоккера - Планка или уравнение более общего вида. Затем
рассматривают распределения накопленных сумм, о которых идет речь, и
стараются показать, что они удовлетворяют функциональному уравнению, в
некотором смысле близкому к первому уравнению, и, нако'нец, применяют
рассуждение по непрерывности (см. замечания 1.2.2.2).
В следующих главах уделяется большое внимание развитию аппарата для
изучения предельных теорем для независимых величин и процессов с
независимыми приращениями. Мы будем, кроме того, все время
руководствоваться тем, что мы знаем из классической теории.
20
Гл. 1. Исторические предпосылки
1.3. Практические предпосылки теории
Чувствуя эстетическую привлекательность общей и законченной
математической теории, автор все же считает, что сильнейшим стимулом к
продолжению работы в вероятностной теории алгебраических структур будут
являться приложения. Уже сейчас разнообразие и число практических
вопросов, приводящих к задачам, которые мы имеем в виду, указывают на
необходимость такой теории. Здесь мы только укажем несколько типичных
случаев.
1.3.1. Пусть в нашем распоряжении есть некоторый метод получения
случайных чисел. В десятичной записи они имеют вид
х = 0, х,х2 ... xh.
Каждому из 10,? различных возможных чисел соответствует некоторая
вероятность, определяемая распределением вероятностей, которое может быть
известно нам только частично. Пусть получена последовательность
независимых чисел ха\ xw, . . . , *(п). Скомбинируем их следующим
