Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 5

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 82 >> Следующая

преобразование Фурье, или характеристике-
со
ская функция: Р (z) = ф (г) = ^ eixz F (dx) ~ Е exp (ixz),
- ОО
(г действительно). Важность характеристической функции основана на трех
ее свойствах:
а) характеристическая функция однозначно определяет вероятностную
меру;
б) композиции соответствует обычное умножение: если Р = Pi * Р2, то Р
= Л • Р2;
в) слабой сходимости последовательности распределений вероятностей к
предельному распределению соответствует сходимость характеристических
функций к непрерывной предельной функции.
1.2. Классические методы и результаты
15
Моменты вероятностной меры Р определяются соотно-
если соответствующие интегралы существуют. Они могут быть выражены через
производные характеристической функции
Родственными понятиями являются семиинварианты (или кумулянты)
которые являются, конечно, линейными комбинациями моментов того же и
более низкого порядка. Кумулянты для независимых распределений обладают
свойством аддитивности. Некоторые считают, что с моментами и кумулянтами
труднее работать и что они определяются менее общим образом, чем
характеристическая функция. Возможно, в исследованиях общего характера
это и так, но во многих случаях, особенно когда речь идет о предельных
теоремах, они очень полезны.
1.2.2. Теперь перейдем к некоторым предельным теоремам. Одной из
наиболее старых является теорема Бернулли, восходящая к первому этапу
развития теории вероятностей: если случайная величина v имеет
биномиальное распределение В (п, р), то частота
сходится по вероятности к постоянной р. Или, если записать v как сумму v
= х^ + х2 + . . . + хп независимых случайных величин xi ("индикаторов"),
принимающих значения 1 и 0 с вероятностями р и q = 1 - р соответственно,
то
шением
ak = Ex
(xt + X2 + . . . 4- Xn) -> P = E*;
Сейчас мы знаем, конечно, что эта формула имеет место при значительно
более общих предположениях. Соответствую-
16
Гл. 1. Исторические предпосылки
щее утверждение может быть сформулировано различными способами, но одна
из возможно наиболее привлекательных формулировок этого закона больших
чисел принадлежит Хинчину: если случайные величины xt независимы и
одинаково распределены с конечным средним значением т, то
х = ~ (xi -Ь х2 + . .. + хп) -> т.
Эти предельные теоремы могут быть сильно уточнены. Известно (теорема
Муавра - Лапласа), что распределение нормированной случайной величины
V -яр
Y npq
сходится к нормальному (гауссовскому) распределению N (0,1). Или, в более
общей формулировке, если величины xt независимы и одинаково распределены
со средним значением т и конечной дисперсией ст2 > 0, то величины
xl~rx2~h хп-
а У п
снова имеют в пределе распределение N (0, 1). Это - простейшая форма
центральной предельной теоремы. А какое предельное распределение будет
иметь соответствующим образом нормированная сумма
" __ Х1 + х2 + • • ¦ + хп - ап
ьп
в еще более общей ситуации, когда xt независимы и одинаково распределены,
а относительно моментов не делается никаких предположений? Известно
(Хинчин), что в этом случае возможные предельные распределения устойчивы.
Соответствующие функции распределения F таковы, что для любых > 0, а2 > 0
и произвольных bi и Ь2 существуют постоянные а > 0 и Ь, для которых
F fax + bi)*F (а2х + b2) = F (ах + Ь).
Устойчивые распределения полностью описаны в терминах характеристических
функций (см. замечания 1.2.2.!).
Существуют другие предельные теоремы, не укладывающиеся непосредственно в
эту схему. Укажем на известный
1.2.Классические методы и результаты
17
пуассоновский случай, в котором биномиальное распределение стремится к
распределению Пуассона, когда я-> оо, пр ->А,. В этом случае
распределение xt не остается фиксированным при п ->оо, но изменяется, так
как параметр р становится все меньше и меньше. Чтобы сформулировать это в
более общих терминах, нужно рассмотреть треуголь_ ную таблицу случайных
величин
Хц
x2ii Х22
X31r Х321 Х33
Случайные величины в каждой строке предполагаются независимыми и
одинаково распределенными. Второе условие может быть заменено условием,
что ни одно слагаемое в сумме x"i + хп2 + . . . + хпп не дает вклада,
соизмеримого по величине со всей суммой. Иначе мы могли бы, конечно,
получить любое предельное распределение. Таким условием может, например,
являться условие
lim sup P{j Xnk [ > e} = О
71-у со 1
для любого е > 0. В этом случае класс возможных предельных распределений
совпадает с классом безгранично делимых распределений. Распределение
вероятностей Р называется безгранично делимым, если для любого
натурального числа п существует такое распределение Рп, что
Р = Р1* = Рп*Рп* ... ,рп.
v у п раз
Распределение вероятностей безгранично делимо тогда и только тогда, когда
его характеристическая функция имеет вид
Ф(г) = ехр |iaz + J [eluz - 1 - у^] ^^-G(du)}
(,представление Леви - Хинчина), где а - действительная постоянная, a G -
неубывающая функция ограниченной вариации.
Известны критерии, позволяющие непосредственно судить об асимптотическом
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed