Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Сумма квадратов невязок равна:
п
E (yk-a0-alXk- ... -
ft = 1
х\ 1 2 3 4 у j 1,5 1,2 0,8 0,5
ф = (а + Ь — 1,5)2 + (2а +b — 1,2)2 + (За + Ь — 0,8)2 +
+ (4а +
*-0.5)",
196
полиномы и дроби
(ГЛ. Vl
Вычисляем производные по а и по ft:
~^- = (a + b-l,5) + 2(2a + b-l,2) + 3(3a + b-0,8) +
+ 4 (4а + Ь - 0,5) = 30а + 10& - 8,3; ±^- = (а + Ь- 1,5)+ (2а +ft-1,2)+ (За +й-0,8) +
+ (4а + ft - 0,5) = 10а + 4ft - 4,0,
Решаем систему уравнений:
30а+ 10ft —8,3 = 0, 10а+ 4ft —4,0 = 0.
Получаем: а = —0,34, b = 1,85, так что решением задачи является f{x) = — 0,34*+ 1,85.
Сравним значения этого полинома с данными задачи:
Jg ] 1 2 3 4 у I 1,51 1,17 0,83 0,49
Максимальный модуль невязки равен 0,03. Если значения для у измерялись с точностью до 0,05, то построенный полином дает вполне удовлетворительную точность.
ГЛАВА VII
СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем
1. Кольцо вычетов по полиному. Рассматривается кольцо полиномов К[х] над полем К. Пусть /— данный полином. Два полинома gi и g-2^K[x\ называются сравнимыми по модулю /, если их разность gi — g2 делится на f. Сравнение обозначается так: gl == g2(modf). Справедливы следующие предложения:
Предложение 1. Если gi = g3(mod/) « g2 = g4 (mod/), го gi ± g2 = g3±g4(modf).
Предложение 2. Если gi = g3(modf) и g2 = g4(mod/), то g\g2 = g3g4-(modf).
Доказательство ничем не отличается от доказательств аналогичных предложений теории сравнений в кольце целых чисел (предложения 3 и 4 § 2 гл. I).
Попарно сравнимые полиномы объединяются в классы. Для классов естественным образом определяются действия сложения и умножения: именно, суммой и произведением классов называется класс, содержащий сумму и произведения каких-либо полиномов из этих классов. Корректность этих определений обеспечивается предложениями 1 и 2. По отношению к этим действиям классы образуют кольцо, коммутативное и ассоциативное. Нулем в этом кольце является класс полиномов, сравнимых с нулем, т. е. делящихся на /. Единицей является класс, содержащий «полином» 1, т. е. множество полиномов, которые становятся делящимися на / после вычитания 1.
Все полиномы одного класса по модулю / имеют один и тот же н. о. д. с /. Действительно, если gi = g2 + qf, то всякий общий делитель g2 и / делит gi и всякий общий делитель gi и / делит g2. Класс называется примитивным, если входящие в него полиномы взаимно просты с модулем. Класс называется обратимым, если для него существует обратный, т. е. такой, произведение которого 6 данным равно единичному.
Предложение 3. Обратимыми являются примитивные классы и только они.
Доказательство. Пусть g принадлежит примитивному классу, так что (g, /)=1. Тогда найдутся полиномы М, N из кольца К[х] такие, что gM + fN = 1. Ясно, что gM = l(mod/), так что M принадлежит классу, обратному к классу, содержащему g.
198 СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ, РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ. VII
Пусть теперь класс, содержащий g, обратим. Это значит, что для полинома g найдется такой полином М, что gM =з l(mod/). Обозначив через N частное от деления 1 — gM на /, получим gM -f- fN = 1, а это и означает, что g и f взаимно просты.
Из доказанного предложения немедленно следует
Предложение 4. Кольцо вычетов по модулю неприводимого полинома есть поле.
Действительно, в этом случае все классы, кроме нулевого, обратимы.
Если же полином / приводим, то кольцо вычетов по модулю \ не только не поле, но даже не область целостности. Действительно, пусть / = /1/2, где /і, |2ЄІ(М отличны от констант. Тогда содержащие \\ и f2 классы отличны от нулевого, но их произведение есть нулевой класс.
2. Значения рациональных дробей. Пусть К(х) — поле рациональных дробей от буквы X над полем К, A — какое-либо расши-
і
рение поля К. Пусть а є Ж. Если для дроби — элемент а является корнем для знаменателя и не является корнем числителя, f
говорят, что — имеет полюс в точке а. Если g(a)фO, то имеет смысл значениедроби. Если числитель и знаменатель умножить на один и тот же полином, не обращающийся в нуль при а, то значение дроби, очевидно, не меняется. Следовательно, оно не меняется и при сокращении. Если дробь несократима, т. е. если ее числитель и знаменатель взаимно просты, то они не могут обращаться в нуль одновременно, так что если а не является полюсом дроби, то имеется ее значение в а, которое принимается за зна-
чение дроби независимо от ее записи. Так, дробь _ имеет
значение при х = 2, хотя знаменатель и обращается в 0 в этой
1 * й х—2 1 точке, именно, это значение равно -г, ибо —5—-г=—т-^.
§ 2. Расширение полей
1. Простое расширение поля. Пусть дано поле К, содержащее его поле Ж, иабі Рациональные дроби поля К(х), не имеющие а полюсом, имеют значения в а, принадлежащие полю Множество значений ^^ всех дробей ~ є К (*) образует, очевидно,
поле. Действительно, если а не является полюсом для ~ и для
—, то а не будет полюсом для их суммы, разности и произве-82 f f
