Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
F'(0) = (0 + 2)(0+ 1)(0- 1)(0-2) = 4,
F' (1)==-6, F' (2) = 24
X3 + Ъх + 7
(X+ 2) (X+ 1)х(х- 1)(х -2)
_ И___1,7 13 25
24 (X + 2) 6(x+l)"t"4x 6(х- 1) "Т" 24(х — 2) *
Пример 2. Разложить над полем R дробь —j—.
X -f- 1
Сперва напишем разложение над „С:. Напомним, что корни полинома F(x) = X2"+ 1 лежат на единичной окружности и попарно
тл ^ ™о (2fe- 1)я . . . (2k— 1)я
сопряжены. Именно, с корнями X^ = COS---г * sin-¦^-—,
A = I1 2, п, сопряжены корни Xk = x2n+t-k- Корни по-
парно различны, так что формула Лагранжа применима. Имеем F'(x) = 2ЛХ2"-1, откуда F' (xft) = 2«X2""1 = 2«X^1X2" = — 2пх^. По формуле Лагранжа
п п
1 1 v-« х. 1 v-v хк
„2л 2п Aj х — х. 2п Lu
¦ л. і -ж i-j х — х.
Т A=I * ft=
Объединив теперь комплексно сопряженные слагаемые, получим
1 I V~l *ь . **
"~" 2я Zj X2 - (X. + хЛ X + 1 я L . (2/г — 1) я *
A = I *-1 Х2-2ХС08 -gjj-i--1-1
Пример 3. Разложить дробь ——1-— на простейшие над по-
г X^-X
лем GF (р) вычетов по модулю р.
В силу теоремы Ферма все элементы поля 0, 1, р—1_суть корни полинома F(x) = x^ — х, так что х" — х = х(х— 1) ... "... (х — р — 1). Имеем F'(x) = рх"-1 — ! =—1. Следовательно,
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
191
§ 4. Интерполяция
1. Постановка задачи. Слово «интерполяция» хорошо знакомо. Под этим термином понимается разумный способ вычисления функции, заданной таблицей, в точках, не вошедших в таблицу. В этой ситуации обычно применяется линейная интерполяция, состоящая в том, что функция на промежутке между соседними табличными значениями приближенно заменяется линейной функцией, так что в- целом функция заменяется на кусочно линейную. Сходная задача возникает при обработке результатов эксперимента. Пусть экспериментально определяются значения некоторой функции в ряде точек. Требуется построить экспериментальную формулу, позволяющую вычислять значения функции в точках, для которых эксперимент не проводился.
В общем виде задачу об интерполяции можно сформулировать так. Дана таблица, в которой значениям независимой переменной сопоставлены значения функции. Требуется найти функцию с такой таблицей значений. Разумеется, в такой постановке задача совершенно неопределенная, и для внесения большей определенности должен быть указан класс допустимых функций (например, класс кусочно линейных функций для линейной интерполяции).
Сейчас мы рассмотрим задачу о построении полинома наименьшей степени, принимающего данную таблицу значений.
Пусть х I *' Хг ''' — данная таблица значений. Разумеется,
числа Xi, х2, ..., Xn должны быть попарно различны, ибо одинаковым значениям X мы должны приписать одинаковые значения для у и нет оснований повторять одно и то же условие два или большее число раз. У нас имеется п условий. Полином, имеющий п коэффициентов, есть полином степени п—1. Поэтому естественно искать решение задачи в виде полинома степени п — 1:
Мы получили систему п линейных уравнений с п неизвестными Оо, Дь cin-i- Определитель из коэффициентов этой системы есть уже знакомый определитель Вандермонда
у = а0+ аіх+ ... +an-ix"-1. Поставленные условия означают выполнение равенств:
У2 = а0 + а1х2+ ... +O11-1XlT1,
Уп = а0 + а1Хп+ ••• + an-lK
¦rt-t
I x1 ... x'i
.п-Х
1 X1
192
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
[ГЛ. VI
Он отличен от нуля, ибо все Xi попарно различны. Следовательно, задача имеет единственное решение. Оно дает интерполяционный полином, степень которого не превосходит п — 1 (она может оказаться меньше п—1, если один или несколько старших коэффициентов окажутся равными нулю). Интерполяционный полином степени п — 1 или меньше является интерполяционным полиномом наименьшей степени, ибо среди полиномов степени меньше п он существует только один и все другие интерполяционные полиномы имеют степень п и выше.
2. Интерполяционная формула Лагранжа. Для интерполяционного полинома степени не большей п—1 существует несложная формула. Ее можно получить из решения системы линейных уравнений предыдущего пункта, но мы ее выведем чрезвычайно кратким, но искусственным путем, используя формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие.
Пусть х \ *' Хг ¦•¦ Хп — данная таблица значений, X1 Ф х-, и У \ У\ Уі • ¦ ¦ Уп
f(x) — интерполяционный полином наименьшей степени. Обозначим F(x) = (x— Xi)(x — хч) ... (х — Xn) и рассмотрим рациональную дробь \}*%) . Она правильная, ибо степень числителя меньше
и, и мы можем применить формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие. Получим
В правой части равенства все известно, ибо f(Xk) = yk- Умножив на F(x), получим искомую формулу:
Эта формула очень удобна для теоретических исследований, но не удобна для практического вычисления интерполяционного полинома.
Например, для функции, заданной таблицей
интерполяционным полиномом является, очевидно, х-\- 1. По формуле же Лагранжа, исходя из F(x) = (x—1) (х—2) (х—3) (х—4), мы придем к тому же результату лишь после некоторых
