Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что простые числа и примитивные неприводимые полиномы являются неразложимыми элементами кольца Z[x]. Тем самым доказана
Теорема 6. Кольцо Z [х] полиномов с целыми коэффициентами факториально.
4. Задача о приводимости полинома над полем рациональных чисел. Поставленную задачу достаточно исследовать для полиномов с целыми коэффициентами, ибо любой полином из Q[x] ассоциирован с полиномом из 2[х]. Теорема Гаусса позволяет дать способ разложения полинома с целыми коэффициентами на два множителя или убедиться в его неприводимости над Q. Способ этот теоретически прост, но практически довольно громоздок. Опишем его.
Пусть дан полином f = ацхп + а\х"-х + ... + ап, a,-eZ, Допустим, что он приводим над Q. Тогда существует, согласно теореме Гаусса, его разложение на два множителя с целыми коэффициентами: / = /1/2, fu /2 s Z [х]. Сумма степеней fi и /2 равна п, значит, степень одного из них, положим, fi, не превосходит k = = [п/2]. Мы знаем, что полином, степень которого не превосходит k, вполне определяется, если для него известно k -f- 1 значение, согласно решению задачи об интерполяции. Возьмем k + 1 целых значений для х:
Xo, Х\, . .., Xk, Xi^1Xj, ATjSiZ.
Если произойдет такое счастливое обстоятельство, что одно из выбранных чисел окажется корнем полинома f, то задача решена, / приводим, и мы можем написать его разложение на два сомножителя. Положим теперь, что !(хі)фЬ при і = 0, 1, ..., k. Из равенств
fi(xi)fa{xi) = f(Xi)
заключаем, что числа fi(xi) нам «почти» известны. Действительно, f\(Xi) и f2(x,-)— целые числа, так что fi(xi) является одним из делителей известного нам числа f(xt). Для fi(xt) имеется конечное число возможностей. Обозначим через tt число делителей числа f(xi). Составим таблицы
* I хо х\ • • • xk y\dQdx...dk
расставляя в нижние строки наборы из всевозможных делителей чисел f(x0), f(xi), .... f(xk). Число таких таблиц конечно и равно ^0Z1 ... tk, ибо t'-e место в нижней строке можно заполнить ti способами. Построим для каждой таблицы интерполяционный поли-
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
207
ном. Если / приводим, то его множитель /і найдется среди построенных полиномов. Поэтому, построив интерполяционные полиномы, нужно выбросить те, у которых имеется хотя бы один дробный коэффициент (ибо искомый fi имеет целые коэффициенты), а полиномы с целыми коэффициентами испытать посредством деления на них полинома /. Если испытание в каком-то случае даст положительный результат, то полином / приводим, и мы нашли его разложение на два множителя. Если же испытание во всех случаях даст отрицательный результат, то полином / неприводим. Тем самым поставленная задача решена в конечном числе действий.
5. Редукционный признак неприводимости полинома. Теорема 7. Пусть р — простое число, f = а0хп + ... + апе
eZ[4 O0 Ф О (mod р) и редукция J полинома f по модулю р не-приводима. Тогда f неприводим над Q.
Доказательство. Если / приводим над Q, то по теореме Гаусса имеет разложение на множители с целыми коэффициентами / = fif2, ГДЄ /] = Ь0Хт + . . . + bmJl /2 = C0Xk + ... + Ck, ПрИ
m ^ 1 и k ^ 1. Из ао = 60с0 и а0=7^0 заключаем, что B0 ?=0 и с0фО~. Таким образом, J = JiJ2, fi = b~oxm+ ... +Bm и J2 = = сох* + ... -{-Sk. Оба полинома Ji и f2 отличны от констант. Мы пришли к противоречию с условием, которое и доказывает теорему.
Пример. Легко установить, что полином х4 + х3 + х2 + х + 1 неприводим по модулю 2. Отсюда следует, что любой полином четвертой степени с нечетными коэффициентами неприводим над Q.
6. Признак неприводимости Эйзенштейна.
Теорема 8. Пусть р — простое число, f = а0хп + aix"~l +... ... |а,є7[х], а0 Ф 0 (mod р), а; = 0 (mod р) при i=\, ..., п и ап Ф О (mod р2), Тогда f неприводим над Q.
Доказательство. Пусть / приводим над Q и пусть / =
= flf2, ГДЄ fi = b0Xm+ ... + Ьт, f2 = CoXk+ ... -і- Ck, m 1> 1,
k^l, — разложение f на множители с целыми коэффициентами, которое существует в силу теоремы Гаусса.
Переходим к редукции по модулю р. Ясно, что J = a0xn Hj = ==/1/2- Одночлен X неприводим над GF(p) и, в силу однозначности канонического разложения над полем, заключаем, что Ji = b0xm и J2 = coxk. Поэтому все коэффициенты, кроме старших, полиномов fi и /2 делятся на р. В частности, bm = O(modp) и ck =s 0 (mod р). Следовательно, ап = bmck делится на р2, что противоречит условию теоремы. Это противоречие доказывает теорему.
Пример 1. ^ + 2M"-1+ ... + 26,^ + 46,, + 2 при 6Ь 62, 6„eZ неприводим над Q в силу применимости признака Эйзенштейна для р = 2.
Пример 2. f = -j-— = *р~' + хр-2 + ... +1, р — простое
число. Здесь признак Эйзенштейна непосредственно не применим.
208
ПОЛИНОМЫ G ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[ГЛ. VHC
Рассмотрим полином g(y) = /({/ + 1). Ясно, что полиномы fug приводимы или неприводимы над Q одновременно. Имеем:
g (у) „ {» + 'j" - 1 - у*-' + P^-» + -Elfoil у»-» + ...
... + Р(Р-1)...(,-* + 1) уР-,-,+ ... +„.
Простое р входит в числитель всех коэффициентов, начиная со второго, и не входит в знаменатель k\. Поэтому все коэффициенты, начиная со второго, делятся на р, а свободный член р не делится на р2. По признаку Эйзенштейна полином g, а вместе с ним и полином /, неприводим над Q.
