Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
п
х\ 1 2 3 4 у |2 3 4 5
§4]
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
193
преобразований:
/W = TTe (*-2)(*-3) (*-4)+ -§-(*-1)(*-.3)(*-4) + + ZZj(x - 1)(* - 2)(* - 4) + |-(*- 1)(*- 2) (х- 8)-= - 1(х3 - 9jc2 + 26* - 24) + -|(х3 - 8х2 + 19* - 12) —
-2(x3-7*2+ 14* - 8) + -|(х3-6х2 + 11х-6) = * + 1.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Если окажется, что нужно расширить таблицу данных, то построение интерполяционного полинома по формуле Лагранжа заставляет выполнить пересчет с самого начала — изменится полином F и значения его производных.
Выведем теперь из формулы Лагранжа некоторые интересные и нетривиальные тождества. Пусть, как прежде, F(x) = = (х— xi)(x — x2) ...(* —*п) при ХіфХі. Положим /(*)"=**, где s^n — 1. Получим:
V 4 F(x)
Сравним коэффициенты при х"-1 в обеих частях равенства.
F (х)
Ясно, что —1— есть полином степени п — 1 со старшим коэффи-
х хк
циентом 1. Следовательно,
= 0 при s = 0, 1.....п — 2,
п -
S 4
4 =1.
A = I V M
3. Способ интерполяции Ньютона. Способ основан на последовательном решении интерполяционных задач:
X I X1 X I Xi X2
Х\ Хг
У\ Уі ¦¦¦ Уп
УI Ih У\У\ Уг У
Интерполяционные полиномы для этих задач обозначим через fь /г, • • •. fn- Решением первой задачи является, очевидно, константа /i = yi. Сравним решения двух соседних задач fk-i и Разность fk — fk-i полиномов fk и fk-i обращается в 0 при x = хь х = х2, X = Xk-i И, следовательно, делится на (х — Х])(х — x2) ... (х — xa_i). Степень fk — ffe-i не превосходит к — 1. Поэтому частное есть константа, т. е.
fk — fk-i = Ак(х — xi) (х — x2) ... (х —xa_i).
194
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
[Г Л VI
Положим в этом равенстве х = Хк. Получим
Ук — fk-i(xk) = Ak(Xk-Xi) (xk — X2) ... (хк — Xk-\),
откуда
A =_yk-fk-i(xk)_
к ixk-xi)(xk-x2)---(xk-xk-d'
Следовательно, решение последней интерполяционной задачи есть
/==¦= fn == Ai + A2(х — Xi) + А3(х — xi) (X-X2)+ ...
... + A11 (X —Xi) (X-X2) ... (x — Xn-l),
где коэффициенты Ак вычисляются последовательно по выведенным выше формулам.
Для коэффициентов можно дать довольно громоздкие выражения непосредственно через данные задачи, в форме так называемых разделенных разностей. Мы не будем на этом останавливаться.
При фактическом вычислении интерполяционного полинома целесообразно записать его в форме
Ai + А2(х — Xi) + А3(х — Xi) (х — х2) + ...
... +An(X-Xi) (X-X2) ... (X — Xn-l)
с неопределенными коэффициентами и затем находить их, последовательно полагая х == х\, х = х2, .... х = хп. Например, для рассмотренной выше таблицы
*| 1 2 3 4 у |2 3 4 5
запишем
f = Ai + А2(х —I) + А3(х —I) (х —2) +Ai(x —I) (х —2) (х— 3). Получим
при X = 1: 2 = A1;
при X= 2: 3 = 2 + A2, A2= 1;
при X = 3: 4 = 2+1•2 + 2A3, Л3 = 0;
при X = 4: 5 = 2+1-3 + 6A4, A4 = 0.
Итак, f (х) = 2 + (х — 1) = X + 1.
4. Приближенная интерполяция. Задача о приближенном интерполировании особенно существенна при обработке экспериментальных данных. Их, как правило, нельзя считать абсолютно точными, и строить точный интерполяционный полином не имеет Смысла. Часто оказывается целесообразным выбирать полином Возможно более низкой степени так, чтобы он удовлетворял поставленным требованиям приближенно, но наилучшим образом в том или ином смысле. Степень полинома обычно подсказывается условиями задачи, требующей интерполяции.
«<]
интерполяция
195
Итак, пусть дана таблица данных
X I Xi ... Xn У\Уі 02 ••• Уп
и требуется найти полином f(x) степени т <. п—I1 приближенно принимающий данные значения. Числа уи— f(Xk) носят название невязок, они в совокупности должны быть малы. Основные критерии этой «совокупной малости» следующие.
I. Требуется подобрать f(x) так, чтобы наибольшая по модулю невязка была возможно меньше.
II. Требуется подобрать f(x) так, чтобы сумма модулей невязок была возможно меньше.
III. Требуется подобрать f(x) так, чтобы сумма квадратов невязок была возможно меньше.
Решение задачи по первым двум критериям непросто и приводится к довольно сложным экстремальным задачам. Гораздо проще решение задачи по третьему критерию. Оказывается также, что этот критерий наиболее приемлем с точки зрения теории вероятностей.
Рассмотрим задачу подробнее.
Речь идет об отыскании коэффициентов а0, аи ат полинома f(x) = ао + aix + ... + атхт, обеспечивающих минимум выражения
Это выражение есть полином второй степени относительно неизвестных а0, ai, ..., "ат. Абсолютный минимум (как функции т+1 переменных) будет также минимумом этого выражения, рассматриваемого как функция одного из коэффициентов при фиксированных остальных. Поэтому все частные производные по ао, ?i, ...
dm в точке минимума равны нулю. Приравнивая их нулю, получим систему линейных уравнений. Оказывается, что эта система имеет единственное решение, и оно действительно дает минимум.
Рассмотрим, например, таблицу
Мы видим, что у — почти линейная функция от х в пределах табличных значений, так что ищем решения в виде полинома первой степени f(x) = ax + b.
