Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Они неразложимы, ибо неприводимы над К и примитивны, так что не делятся ни на полиномы из А[х], ни на константы из Л. Далее, с можно разложить на неразложимые в-Л множители. Получим
f = CiC2 ... C/l|)il|)2 ... If/,.
Это разложение на неразложимые множители однозначно.
Тем самым мы доказали факториальность кольца полиномов от одной буквы над факториальным кольцом.
Отсюда немедленно, применением индукции, заключаем, что кольцо полиномов от любого конечного множества букв над факториальным кольцом факториально. В частности, факториальны кольца Z[xlt ...,Xn] и K[z\, Zn] при любом поле К.
5. Кольца главных идеалов. Подмножество Af коммутативного ассоциативного кольца Л называется идеалом этого кольца, если оно образует группу относительно сложения и допускает умножение на любой элемент из Л. Иными словами, если Ь\, Ь2 є Af и а є Л, то bi ± b2 е Af и аЬх е Af.
(Заметим, что понятие идеала естественно распространяется на любые кольца, только в случае некоммутативности, идеалы разбиваются на три сорта — правые, левые и двусторонние, в зависимости от того, какие умножения на элементы из Л допускаются.) Ясно, что если тєД то множество тЛ всех кратных та элемента т образует идеал. Такой идеал носит название главного идеала, порожденного элементом т.
Кольцо называется кольцом главных идеалов, если все его идеалы главные.
Предложение 5 (теорема об обрыве цепочки делителей). Пусть ai, а2, ап, ...— бесконечная последовательность элементов кольца А главных идеалов такая, что ai делится на ai+i,
ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ
211
{= 1, 2, ... Тогда, начиная с некоторого места, члены последовательности ассоциированы.
Доказательство. Рассмотрим главные идеалы а\А, а2А,... ..., апА, ... Так как а\ делится на а2, то а\ є а2А, и, следовательно, а\А<=,а2А. По тем же соображениям а,Л s а1+іЛ при всех L Рассмотрим объединение В всех идеалов аіА. Если O1 и Ъ2 — два элемента из В, то они входят в идеалы at А и а/А при некоторых і и } и, если / 5?: /, оба входят в идеал а/А Следовательно, b\±b2 и Ь\а при любом аеЛ входят в а-,А, а следовательно, и в В. Таким образом, множество В есть идеал. Кольцо А есть кольцо главных идеалов и, следовательно, В = ЪА при некотором oe?. Элемент Ъ принадлежит одному из идеалов а,Л, /==1, 2, пусть, для определенности, идеалу атА. Тогда b є апА при всех п ^ т. Поэтому Ъ делится на все ат, т ^ п. С другой стороны, все а{ принадлежат В = ЬА и, следовательно, все а<, /= 1, 2, делятся на ft. Итак, 6 делится на ат при т ^n и ат делится на Ъ. Поэтому ат при т ^ п ассоциированы с & и потому ассоциированы друг с другом. Теорема доказана.
Из теоремы следует, что если имеется последовательность элементов ai, а2, .... в которой каждый член последовательности делится на следующий и не ассоциирован с ним, то такая последовательность конечна.
6. Существование разложения на неразложимые множители в кольце главных идеалов.
Предложение 6. Любой элемент, не являющийся единицей в кольце главных идеалов, делится по крайней мере на один неразложимый элемент.
Доказательство. Пусть А — кольцо главных идеалов и аєА Если а неразложим, то нечего доказывать. Пусть а = аф, причем а\ и Ь не являются единицами кольца. Тогда а делится на а\ и а не ассоциирован с a^ Если ах неразложим, то теорема для а доказана. Если а\ разложим, то найдется а2 такой, что а\ делится на а2 и а\ не ассоциирован с а2. Если а2 неразложим, теорема для а доказана, ибо а делится на а2. Если а2 разложим, повторяем рассуждение и т. д. Последовательность а, а\, а2, ... оборвется на каком-то шагу, что и значит, что мы придем к неразложимому элементу а*, на который делятся все предшествующие, включая а. Предложение доказано.
7. Наибольший общий делитель элементов кольца главных идеалов.
Предложение 7. Для любых двух элементов аь а2 кольца А главных идеалов (и для любого конечного множества а\, а2, ... ..., ak) существует общий делитель d, допускающий линейное представление d = a\U\ + а2и2 (d = O1«! -f- а2и2-f- ... -f- akUk) и, следовательно, делящийся на любой общий делитель а\ и а2 iau а2, .... ак).
212
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[гл. vi«
Такой общий делитель называется наибольшим общим делителем.
Доказательство. Рассмотрим множество элементов M = = а\А + а2А = {aiVi + a2v2\vu V2^A}. Ясно, что M есть идеал, содержащий а і и а2 (и ими порожденный, т. е. наименьший идеал, содержащий а\ и а2). Следовательно, M = dA, где d — один из элементов М. Все элементы идеала M делятся на d, в частности, ai и а2 делятся на d. Но d, как и все элементы множества М, имеет линейное представление d= ?iUi + а2и2 при некоторых ии и2^А. Ясно, что d делится на любой общий делитель аг и а2, ибо правая часть на него делится. Предложение доказано. (Для доказательства предложения для ai, а2, ..., ак нужно рассмотреть идеал M = aiA 4- а2А -f ... + акА.)
Из линейного представления наибольшего общего делителя следует критерий взаимной простоты элементов — для того чтобы а\, а2^А были взаимно просты, необходимо и достаточно существование таки-х ui, и2^А, что aiUi-{-a2u2 = 1. Из этого критерия выводятся свойства взаимно простых элементов, в частности, если аха2 делится на Ъ, a ai и Ъ взаимно, просты, то а2 делится на Ь. Из этих свойств следуют свойства неразложимых элементов, аналогичные свойствам простых чисел и неприводимых полиномов, в частности,,предложение о том, что если произведение а\а2 ... ат делится на неразложимый элемент р, то на него делится один из сомножителей. Наконец, справедлива
