Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
если -^u- = -^n+-^hr при deg/i < degф, то / = fi + qw, т. е.
есть остаток деления / на ф и q\ — неполное частное. Выделив остаток от деления qx на ф, qi = /2 + ф<7г, degf2< degф, получим
gi___Ь_ , Яг
^m-а — фш-i т ¦ Продолжая процесс, придем к правильной дроби qm~l , которая является простейшей. Итак,
-t = -t + -fer+ ••• +— («є /ж = 9„-,).
ф"1 <fm ф™ Ф
Единственность разложения очевидна, в силу единственности на каждом шагу процесса.
Теорема 6. Правильная рациональная дробь из поля К(х) может быть представлена в виде суммы простейших дробей, и такое представление единственно.
Действительно, всякая правильная дробь из К(х) единственным образом представляется в виде суммы правильных примарных дробей и каждая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших. Если знаменатель исходной дроби имеет
каноническое разложение ф^'ф™2 •.. ф™*> то знаменателями простейших дробей будутф^1, фГ1-\ фр ф!Г2> ф2"2~\ .... ф2, ...
т. ть—\ фй*, ф? , фц.
5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. Поле С всех комплексных чисел алгебраически замкнуто, и любой нормализованный полином разлагается над P в произведение линейных множителей
g = {х — X1) . . . (X - Хь) \
В этом случае простейшими дробями будут--——, г;:е
(X-X1)'
так что разложение правильной дроби на простейшие
188
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
ЇГЛ. VI
имеет вид
8 (x-x1) 1 * *1 (*~*2) 2 Х 2
' + mt "Ь * * * "t"
к
(Х~Хк)
Это разложение играет значительную роль в математическом анализе. Простейшие дроби легко дифференцировать и интегрировать.
6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R
вещественных чисел. Над полем R имеется два типа неприводимых
полиномов — полиномы первой степени X — Xi и полиномы второй
степени X2 + PjX + ці при р2- — 4ц/ < 0. Соответственно, имеется
два типа простейших дробей:
А ¦ Вх + С , . , . --_ и —-j- при р2,-4ц <0.
{x-x1) ' (x* + pjx+ Q1)I ' 1
Разложение над R тоже полезно для целей математического анализа.
Пример. (х_ ^ + 1) •
Эта дробь разлагается на слагаемые ^_ , х_ { и ^ t .
Записав это разложение и умножив на знаменатель (х—1)2 (х2+1), получим равенство
1 = Ai(x2+ 1) + A2(X- 1) (х2+ l) + (?x+ С) (х— I)2.
Нужно определить коэффициенты Ai, A2, В я С. Самый естественный путь для их определения — так называемый метод неопределенных коэффициентов, т. е. сравнение коэффициентов при 1, х, X2 и хг. Это даст систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, имеющую, как мы ужа знаем, единственное решение. Вот эта система:
, Ах-А2 + С=\, A2 + В-2C = O1 Ai-A2-2В + C = O, A2 + B = O,
из которой находим Ai = 1/2, A2 = —1/2, S = 1/2, C = O1 так что і і і , x
(х- \)2(х2+ 1) "" 2 (дг — I)2 2(ж- 1) ^'¦2(X2+ 1) "
Коэффициенты можно было бы определить несколько проще, полагая в равенстве полиномов
1 = Ai(X2 + I)+ A2(X-I)(X2 + l) + (Bx + С) (х-1)»
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
189
Jt=I1 что дает 1—2Лі = О, Ax=-^, и х = і, что дает 1 =
= (Ві+С)(—2Ї), откуда В = 1/2 и C = O. Оставшийся коэффициент A2 определяется, например, из сравнения свободных членов.
7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные
множители. Пусть дана правильная дробь -.-г-,—^-Щ-;-г,
Xi ф X1: Ее разложение имеет вид
__fix)______ _ A1 j A2 ^ An
(X — Xi) (X— X2) ... (Х — Xn) X-Xi 1 х — х2 1 '"1X-Xn'
Для определения коэффициентов умножим равенство на знаменатель:
f(x) = Ai (х — х2)... (х — хп) + А2(х —Xi) (х — х3)... (х — хп) + ...
... + An(X-Xi) ¦ • ¦ (x — Xn-l).
Положим теперь по очереди X = Xi, X = х2, ..., X = хп. Получим:
/(at1) = Ai (Xi — X2) (Xi —X3)... (X1 — *„),
f (X2) = A2 (х2 — X1) (х2 —X3)... (х2 — хп),
Ї (Xn) = An (хп — Xi) (хп — X2)... (хп — *„_,).
Множители при коэффициентах в правых частях все отличны от нуля и легко выражаются при помощи производной полинома F(x) = (x — Xi)(x — X2) ... (х — хп). Действительно,
F'(X) = (X — X2) ... (Х — Xn) + (X-Xi)(X-X3) ... (X-Xn)+ ... ; ... +(X-Xi)(X-X2) ... (X — Xn-l).
Полагая по очереди х = хі, х = х2.....х = хп, получим:
F'(Xi) = (Xi — х2)(Xi —X3)... (Xi — хп), F'(X2) = (х2 — Xi)(х2 — X3)... (х2-хп),
F'(Xn) = (хп — Xx)(хп — X2)... (хп — хя_{). Принимая во внимание эти равенства, получим
f(Xj) . _ f(x2) __ f(X„)
Лі— F'(Xi)' /l2 — F' (X2) ' ' ' •' Ап — F' (хп) •
и для разложения на простейшие получаем формулу
fw A f(xk)
F(X) faF'(xk)(x-xk)'
•Эта формула носит название формулы Лаграноіса.
ieo
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
ІГЛ. VI
Рассмотрим несколько примеров ее применения.
Пример 1. (x + 2)(x + tu^-i)(x-2)' Здесь
F(x) = (x + 2)(x + I)X(X-I) (X-2), F' (-2) = (-2+ 1)(-2)(-2-1)(-2-2) = 24, F'(-1) = (-1 +2)(-1)(-1 -1)(-1-2) = -6,
