Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
входить однократные неприводимые множители f. Найдем далее наибольший общий делитель d2 полиномов dx и d\. Он будет состоять из неприводимых множителей, входящих в f с большим чем 2 показателем. Их показатели в d2 на 2 меньше, чем в f. Полином
U = •^r будет состоять из неприводимых множителей, входящих в / с показателями 2 и выше. Далее, пусть d3 есть наибольший об-
180
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
[ГЛ. VI
щий делитель d2 и d2, f3 = -^- Полином f3 составлен из неприводимых множителей, входящих в / с показателем 3 и выше, и т. д. Частное от деления /і на }2 будет составлено из неприводимых множителей, входящих в / ровно в первой степени, частное от деления /2 на /з состоит из неприводимых множителей, входящих в / равно во второй степени и т. д.
Пример, f = X5 + 2х* — 2х3 — 4л;2 + х + 2. /' = 5^ + 8^3 —
— 6х2 —8л: + 1.
Применив алгорифм Евклида, получим, что н. о. д..(Д /')> равен di = X2—1. Далее, d[ = 2x, d2=U d'2 = 0, d3=l. Поэтому f 1 = = f/d = x* + 2x2-x-2, f2 = dl/d2 = x2-l, f3 = d2/d3=l. Поделив /і на /2, получим X + 2, частное от деления f2 на f3 есть л;2—1. Итак, / = (л; + 2) (л;2 — I)2 = (х + 2) {х — i)2(x + I)2.
§ 3. Рациональные дроби
1. Определение рациональных дробей и действий над ними.
Дробной рациональной функцией или, короче, рациональной дробью называется частное от деления двух полиномов. Если полиномы рассматривать как функции, в определении дробной рациональной функции нет никаких затруднений. Однако возникают некоторые неприятности при привычном всем действии сокращения дробей. Так, строго говоря, мы должны считать функции
—j—j- и ' х2~~ \ как различные, ибо различны их естественные об-
X -+* 1 Xi
ласти определения. Однако вторая превращается в первую при сокращении на х— 1.
Мы рассматривали полиномы не как функции с заранее данной областью определения, а как формальные выражения, над которыми можно совершать действия и преобразования по определенным правилам. Эту же точку зрения нам надлежит принять при рассмотрении рациональных дробей.
Определение. Рациональной функцией над полем К назо-
вем «картинку» вида ^¦, где f и g є К[х], причем ^(л;)^=0.
Введем теперь понятие равенства дробей. f f
Две дроби — и — считаются равными, если полином fig2 —
— he\ Равен °-
Здесь, в отличие от прежних определений равенства для вновь вводимых объектов (комплексных чисел, полиномов и матриц), равенство определяется при помощи некоторого соглашения, а не по тождественности записи. В математике принято называть эквивалентностью или равенством такое отношение между сравниваемыми объектами, которое удовлетворяет следующим требованиям.
1. Рефлексивность: а = а, т. е. объект а равен самому себе.
§31
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
181
2. Симметричность: из a = b следует Ъ = а.
3. Транзитивность: из а = с и b = с следует, что а = Ь, т. е. два объекта, равные третьему, равны между собой.
Проверим эти требования для равенства рациональных дробей.
Рефлексивность: J- = J, ибо fg — gf = 0.
ff ff
Симметричность: если— = -fr-, то -~ = —-, ибо /2gi — fig2—
g] S2 §2 gl
(/ig2 — /г?і) = 0.
Транзитивность. Если -r- = -f— и —— = —-, то „ п .
Г gl g3 g2 g3 gl g2
Действительно, пусть -j- = J^- и ¦^— = -j-. Рассмотрим по-лином Ы/1&2 —fcgi)- °н равен gzUg2 — g2hg\ + g2hgi — g^hg\ =
«/j2(/lg3-f3gl)+/Jl(/sga-/2g8)=0, Иб0 ^ = ^- И -^ = -?--
Из равенства ?3(/1^2-/2^1) = 0 заключаем, что Ugz — hgi = °>
т. е. что J— = —, ибо кольцо /С [х] есть область целостности.
gi ?2
Из данного определения равенства следует, что при любом полиноме пфО имеет место равенство ~; = Щ- - т- е- в числитель и
знаменатель можно вставлять один и тот же множитель или сокращать на общий множитель. Далее, само определение равенства можно сформулировать так: две дроби равны, если от одной из них можно перейти к другой посредством вставки и сокращения.
f /
Действительно, если -77- = -77-. т. е. fig2 = f2g\, то
gl S2
/1 _ figa _ fig\ _ h
gl glgl glg2 gl
Заметим еще, что ~? ~ ~\Tg =~ї' т' е' все ДР°"И с нулевым числителем равны между собой и равны у.
Обратимся теперь к определениям действий над дробями. Определим сложение дробей:
zl _|_ _h_ def flgl -hwi
g\ gl g\g2
Это определение совершенно естественно: посредством надлежащих вставок выравниваются знаменатели и затем числители складываются. Однако несмотря на естественность данного определения, нужно проверить его корректность — не изменится ли результат при замене слагаемых на равные.
Пусть 4" = и -1г=т-- Тогда
J gl g3 g2 gt
/l 1 fi __ zlg2 + f2gl ft I U _ fig* + figz
gl g2 glg2 gS g* g3g*
182
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
[ГЛ. VI
Сравним результаты, исходя из определения равенства дробей.
Имеем
gzgi (figa + figi) — gig* (fsg4 + ftga) =
= gzgt {figs — fag і ) + gigs (figt — f 4ft) = 0.
Результаты сложения оказались равны, так что определение корректно.
Из определения ясно, что сложение коммутативно и ассоциативно. Элемент Y играет роль нуля. Действительно, "Ь у=