Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 67

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 168 >> Следующая


входить однократные неприводимые множители f. Найдем далее наибольший общий делитель d2 полиномов dx и d\. Он будет состоять из неприводимых множителей, входящих в f с большим чем 2 показателем. Их показатели в d2 на 2 меньше, чем в f. Полином

U = •^r будет состоять из неприводимых множителей, входящих в / с показателями 2 и выше. Далее, пусть d3 есть наибольший об-

180

ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ

[ГЛ. VI

щий делитель d2 и d2, f3 = -^- Полином f3 составлен из неприводимых множителей, входящих в / с показателем 3 и выше, и т. д. Частное от деления /і на }2 будет составлено из неприводимых множителей, входящих в / ровно в первой степени, частное от деления /2 на /з состоит из неприводимых множителей, входящих в / равно во второй степени и т. д.

Пример, f = X5 + 2х* — 2х3 — 4л;2 + х + 2. /' = 5^ + 8^3 —

— 6х2 —8л: + 1.

Применив алгорифм Евклида, получим, что н. о. д..(Д /')> равен di = X2—1. Далее, d[ = 2x, d2=U d'2 = 0, d3=l. Поэтому f 1 = = f/d = x* + 2x2-x-2, f2 = dl/d2 = x2-l, f3 = d2/d3=l. Поделив /і на /2, получим X + 2, частное от деления f2 на f3 есть л;2—1. Итак, / = (л; + 2) (л;2 — I)2 = (х + 2) {х — i)2(x + I)2.

§ 3. Рациональные дроби

1. Определение рациональных дробей и действий над ними.

Дробной рациональной функцией или, короче, рациональной дробью называется частное от деления двух полиномов. Если полиномы рассматривать как функции, в определении дробной рациональной функции нет никаких затруднений. Однако возникают некоторые неприятности при привычном всем действии сокращения дробей. Так, строго говоря, мы должны считать функции

—j—j- и ' х2~~ \ как различные, ибо различны их естественные об-

X -+* 1 Xi

ласти определения. Однако вторая превращается в первую при сокращении на х— 1.

Мы рассматривали полиномы не как функции с заранее данной областью определения, а как формальные выражения, над которыми можно совершать действия и преобразования по определенным правилам. Эту же точку зрения нам надлежит принять при рассмотрении рациональных дробей.

Определение. Рациональной функцией над полем К назо-

вем «картинку» вида ^¦, где f и g є К[х], причем ^(л;)^=0.

Введем теперь понятие равенства дробей. f f

Две дроби — и — считаются равными, если полином fig2 —

— he\ Равен °-

Здесь, в отличие от прежних определений равенства для вновь вводимых объектов (комплексных чисел, полиномов и матриц), равенство определяется при помощи некоторого соглашения, а не по тождественности записи. В математике принято называть эквивалентностью или равенством такое отношение между сравниваемыми объектами, которое удовлетворяет следующим требованиям.

1. Рефлексивность: а = а, т. е. объект а равен самому себе.

§31

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

181

2. Симметричность: из a = b следует Ъ = а.

3. Транзитивность: из а = с и b = с следует, что а = Ь, т. е. два объекта, равные третьему, равны между собой.

Проверим эти требования для равенства рациональных дробей.

Рефлексивность: J- = J, ибо fg — gf = 0.

ff ff

Симметричность: если— = -fr-, то -~ = —-, ибо /2gi — fig2—

g] S2 §2 gl

(/ig2 — /г?і) = 0.

Транзитивность. Если -r- = -f— и —— = —-, то „ п .

Г gl g3 g2 g3 gl g2

Действительно, пусть -j- = J^- и ¦^— = -j-. Рассмотрим по-лином Ы/1&2 —fcgi)- °н равен gzUg2 — g2hg\ + g2hgi — g^hg\ =

«/j2(/lg3-f3gl)+/Jl(/sga-/2g8)=0, Иб0 ^ = ^- И -^ = -?--

Из равенства ?3(/1^2-/2^1) = 0 заключаем, что Ugz — hgi = °>

т. е. что J— = —, ибо кольцо /С [х] есть область целостности.

gi ?2

Из данного определения равенства следует, что при любом полиноме пфО имеет место равенство ~; = Щ- - т- е- в числитель и

знаменатель можно вставлять один и тот же множитель или сокращать на общий множитель. Далее, само определение равенства можно сформулировать так: две дроби равны, если от одной из них можно перейти к другой посредством вставки и сокращения.

f /

Действительно, если -77- = -77-. т. е. fig2 = f2g\, то

gl S2

/1 _ figa _ fig\ _ h

gl glgl glg2 gl

Заметим еще, что ~? ~ ~\Tg =~ї' т' е' все ДР°"И с нулевым числителем равны между собой и равны у.

Обратимся теперь к определениям действий над дробями. Определим сложение дробей:

zl _|_ _h_ def flgl -hwi

g\ gl g\g2

Это определение совершенно естественно: посредством надлежащих вставок выравниваются знаменатели и затем числители складываются. Однако несмотря на естественность данного определения, нужно проверить его корректность — не изменится ли результат при замене слагаемых на равные.

Пусть 4" = и -1г=т-- Тогда

J gl g3 g2 gt

/l 1 fi __ zlg2 + f2gl ft I U _ fig* + figz

gl g2 glg2 gS g* g3g*

182

ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ

[ГЛ. VI

Сравним результаты, исходя из определения равенства дробей.

Имеем

gzgi (figa + figi) — gig* (fsg4 + ftga) =

= gzgt {figs — fag і ) + gigs (figt — f 4ft) = 0.

Результаты сложения оказались равны, так что определение корректно.

Из определения ясно, что сложение коммутативно и ассоциативно. Элемент Y играет роль нуля. Действительно, "Ь у=
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed