Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
дения, так что если значения — и — в ос имеют смысл, то имеет
§2]
РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ
199
смысл значение в а для их суммы, разности и произведения. Далее, если gФ 0, то /(а)=^=0, так что дробь у- не имеет а
п g(a) ( f(a) \ ~l „
полюсом и имеет значение в а. Ясно, что 1 >\ = ( / v ) • Так
построенное поле обозначается через К (а) и называется простым расширением г.оля К посредством присоединения а.
Элемент аєі называется трансцендентным относительно поля К, если он не является корнем какого-либо ненулевого полинома с коэффициентами из К. Если же а является корнем некоторого полинома из К[х], то а называется алгебраическим относительно К. Алгебраический элемент а является корнем однозначно определенного неприводимого полинома (р<^К[х]. Действительно, если /(а) = 0 при некотором f^K[x] и / = фіф2 ... фт — разложение f на неприводимые над К множители (допускаются равные множители), то Фі(а)ф2(а) ... фт(а)==0, и, так как все Фі(а), фт(а) принадлежат полю Й, должен равняться нулю один из сомножителей ф;. Если два нормализованных неприводимых полинома имеют корнем а, то они не взаимно просты и, следовательно, совпадают.
Числа, трансцендентные и алгебраические над полем Q рациональных чисел, носят названия, соответственно, трансцендентных
_ 5 _
и алгебраических чисел. Так, числа і, л/2, л/Ъ алгебраические,
в то время, как числа е, л, 2 трансцендентные, что доказано в работах выдающихся ученых 19-го и 20-го веков.
Простые расширения, получающиеся посредством присоединения трансцендентного элемента, называются простыми трансцендентными расширениями, расширения же посредством алгебраического элемента называются простыми алгебраическими расширениями. Рассмотрим подробнее строение простых трансцендентных и алгебраических расширений.
Если cieS трансцендентен относительно К, то а не может быть полюсом ни одной из дробей поля К{х), ибо не может быть корнем полинома, находящегося в знаменателе. Поэтому каждая
дробь -J имеет значение ^ ^ . Разные дроби имеют разные зна-
П Ч (а) fl (И) ? / \ / \
чения. Действительно, если gi (а) = gi (а) ' то ''(а) ^2( а)— — /г(а)(а)== 0, откуда следует, что полином f[g2— f2g\ равен
с f
нулю в силу трансцендентности а, так что дроби -~ и -^- равны.
Итак, между дробями поля К{х) и их значениями в а имеется взаимно однозначное соответствие, которое, очевидно, сохраняется при действиях сложения и умножения. Таким образом, поле К(х) и поле К (а) изоморфны. Тем самым мы установили, что все простые трансцендентные расширения изоморфны между собой, ибо
200 СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ, РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ. VII
они все изоморфны полю дробей К(х). Разумеется, само поле К(х) тоже является простым трансцендентным расширением поля К, ибо X не является корнем полинома с коэффициентами из К (в качестве объемлющего поля содержащего поле К я х, можно взять само К(х)).
Пусть теперь аєі алгебраично над К и ер є К[х} — неприводимый над К полином, корнем которого является а. Пусть, далее,
— ^К(х)— несократимая дробь, для которой а не является по-
люсом, т. е. g(a)^0. Это значит, что полином g взаимно прост с неприводимым над К полиномом ф. Поэтому существуют полиномы М, N<=K[x] такие, что gM + ф;У = 1. Переходя к значениям при
а, получимg(а)M (а) = 1, так что—= M (а) и -Ц^т = / (о)-М (а).
г
Таким образом, значение дроби оказывается равным значению
полинома fM. Далее, полиномы из К[х] имеют одинаковые значения в а в том и только в том случае, когда они сравнимы по модулю ф. Действительно, если /1 = Ытос1ф), то /i— f2 = ф<7 и fi(a) — /2(а) = ф(а)о(а)= 0. Обратно, если /!(a) = /2(a), то полином /i — f2<^K[x] имеет общий корень с неприводимым над К полиномом ф и, следовательно, делится на него, т. е. fi = /2(гпоаф). Итак, мы получили взаимно однозначное соответствие между классами по модулю ф и значениями полиномов Рєі([х] в точке а. Ясно, что это соответствие сохраняется при сложении и при умножении. Таким образом, алгебраическое расширение К (а) оказывается изоморфным полю вычетов кольца К[х] по модулю неприводимого полинома ф, корнем которого является а.
Таким образом, это поле вычетов оказывается абстрактной изоморфной моделью, не зависящей ни от того поля из которого взято а, ни от выбора корня полинома ф. Так, например, полином Xs — 3, неприводимый над полем рациональных чисел (если бы был приводим, то имел бы рациональный линейный множитель и рациональный корень), имеет в поле С комплексных чисел три корня 0, = -^3, a2=j^3p и а3 = ^3р2, где р = е2чіІ3, но все три поля Q(^s)1 Q(^Hp) и Q(^3p2) изоморфны полю вычетов кольца Q [х] по модулю полинома х3 — 3 и, следовательно, изоморфны между собой, хотя множества чисел, их составляющих, различны. Так, поле Q (^З) состоит только из вещественных чисел, а элементами поля 0(\/Зр), кроме элементов Q, являются комплексные числа с отличной от нуля мнимой частью.
Заметим еще, что поле С комплексных чисел получается из поля R вещественных чисел присоединением корня неприводимого над R полинома х2-\-\. Поэтому оно изоморфно полю вычетов кольца R[x] по модулю полинома х2-\-\. Это дает один из способов обоснования понятия комплексного числа. (Комплексными числами называются классы вычетов кольца R [л] по полиному
