Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
204
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[ГЛ. VIIГ
ном с отличным от нуля свободным членом. Этот полином будет иметь те же ненулевые корни, что и исходный.
Отметим следующее следствие. Если Uo= 1, то все рациональные корни полинома являются целыми числами, именно, делителями свободного члена.
Пример. Зх2—10x-f-3. Кандидатами в корни, согласно теореме, являются числа 1, —1, 3, —3, 1/3, —1/3. Подстановка в полином дает, что корнями являются 3 и 1/3.
2. Редукция полиномов с целыми коэффициентами по числовому модулю. Пусть т — целое положительное число. Два полинома fi(x) и /г(х) называются сравнимыми по модулю т, если все коэффициенты их разности делятся на т. Полиномы разбиваются на классы сравнимых по модулю т. Все коэффициенты полиномов из одного класса определены с точностью до целых кратных т, т. е. класс естественно отождествляется с полиномом, коэффициенты которого принадлежат кольцу вычетов Z//nZ. Совершенно ясно, что если fi = f2(modm) и f3 = /4(modm), то
± f3 = h ± /4 (mod tri) и Uh = /2/4 (mod т). Поэтому для классов по модулю т естественным образом определяются сложение и умножение, и эти действия совпадают с действиями сложения и умножения полиномов с коэффициентами из кольца вычетов Z/mZ.
Особый интерес представляет редукция по простому модулю, так как в результате редукции получаются полиномы над полем GF(р), и их множество образует область целостности.
Полином из Z [х] называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Так, полином Зх3—Юх + б примитивен, а 2х3—10x-f-6 не примитивен.
Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов есть примитивный полином.
Доказательство. Пусть fi и f2 е Z [х]— примитивные полиномы. Допустим, что их произведение fif2 не примитивно. Обозначим через р какой-либо простой делитель наибольшего общего делителя коэффициентов Uh- Тогда /i/2=fif2 = 0 (черточка обозначает результат редукции). Так как кольцо полиномов над полем GF(р) есть область целостности, один из сомножителей должен равняться нулю, а это значит, что все коэффициенты ft или h делятся на р, что противоречит предположению о примитивности.
3. Теорема Гаусса и факториальность кольца Z \х].
Предложение 3. Пусть f = а0хп + а\хп~х + ... + ап — примитивный полином, Ь — рациональное число такое, что bf имеет целые коэффициенты. Тогда Ь — целое число.
Доказательство. Пусть b = -j — несократимая дробь. По и cai - п
условию, все числа 0? = -~ целые, I = и, ..., п.
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
206
Числа cad взаимно просты, следовательно, все а,- делятся на d, что возможно только при d= 1, в силу примитивности f.
Теорема 4 (теорема Гаусса). Если полином с целыми коэффициентами раскладывается на два множителя над полем рациональных чисел, то он может быть разложен на множители с целыми коэффициентами, именно, представлен в виде произведения целого числа на произведение примитивных полиномов.
Отсюда следует, что если полином с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим и над кольцом целых чисел.
Доказательство. Пусть feZ[j(] и / = f 1/2, где fi и f2 — полиномы с рациональными, быть может дробными, коэффициентами. Обозначим через Ni и N2 общие знаменатели коэффициентов полиномов /] и f2. Тогда /1 = -^-/1, i2 =-щ!2, где ji и j2 имеют
уже целые коэффициенты. Пусть Mi и M2 — наибольшие общие делители коэффициентов полиномов ji и j2 соответственно. Тогда
j, = MJi и j2 = M2jг, где Fi и f2 — Уже примитивные полиномы.
Тогда
Т — Ыз — -ЩЩ-tih-По лемме Гаусса jij2 есть примитивный полином и, согласно предложению о, рациональное число о = N N в действительности
целое. Итак, i=mij2, где Ъ — целое число, fi п j2- примитивные полиномы. Теорема доказана.
Очевидно, что результат остается верным, если / есть произведение нескольких полиномов с рациональными коэффициентами, именно, после вынесения общих знаменателей коэффициентов и наибольших общих делителей коэффициентов получившихся полиномов мы получим, что / есть произведение целого числа на произведение примитивных полиномов, отличающихся от полиномов исходного разложения лишь числовыми множителями. Очевидно, что примитивные полиномы могут быть ассоциированы, только если они совпадают или отличаются множителем —1.
Теорема 5. Любой полином с целыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения простых чисел и неприводимых над Q примитивных полиномов. Такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей и присоединения к сомножителям множителя —1.
Действительно, от разложения / = фіфг ... ф* полинома / е е Z [х] на неприводимые множители над Q мы можем, в силу теоремы Гаусса, перейти к разложению / = офіфг ... tyk, где Ь — целое число, а примитивные полиномы ?1, ф2, • • •, "Ф* отличаются от полиномов фі, ф2, фй лишь числовыми множителями. Тем самым сомножители фі, ф2, ,.., ф* определены однозначно, с точ*
206
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
{гл. vim
ностью до порядка следования сомножителей (который совпадает с порядком следования <рь cp2, ср*) и множителей ±1. В свою очередь, целое число Ь, которое равно, в силу леммы Гаусса, наибольшему общему делителю коэффициентов полинома f, однозначно разлагается на простые множители.
