Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 78

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 168 >> Следующая


§ 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом

1. Наибольший общий делитель элементов факториального кольца. Пусть А — факториальное кольцо. Наибольшим общим делителем двух (или нескольких) элементов А называется общий делитель, делящийся на любой общий делитель тех же элементов. Докажем, что для любых элементов факториального кольца наибольший общий делитель существует. Доказательство проведем для двух элементов (обобщение на любое конечное множество элементов тривиально). Пусть а = е^'р"2 ... р™* и Ь^е^р^... ... рпкк — разложение а и і на неразложимые множители (здесь ei и ег — единицы, ри рк неразложимы, допускаются нулевые показатели). Тогда любой общий делитель элементов а и Ъ содержит каждое р/ с показателем, не превосходящим как mi, так и щ. Поэтому U = P1 1 ''P2 v 2 г> ... pk К ь к> будет наибольшим общим делителем.

Заметим, что линейного представления наибольшего общего делителя в факториальном кольце может и не быть. Так, в кольце Z [х] элементы 2 и л: неразложимы, их наибольший общий делитель равен 1, но равенство 1==2/ + Xg при f, g<=Z[x], невозможно, ибо полиномы в правой части равенства имеют четный свободный член.

2. Сравнения в факториальном кольце. Пусть А — факториальное кольцо и m — некоторый его элемент. Элементы а, Ъ є А называются сравнимыми по модулю ш, что обозначается а = я ft(modm), если их разность а — Ъ делится на m в кольце А. Ясно, что все элементы А разбиваются на классы попарно сравнимых. Далее, очевидные предложения: если а\ = 6i(modm) и aja э &2(mod /л), то а\ ± иг =¦ Ь\ ± &2(mod tri) и aia2 = Ьф2(тоА т) позволяют превратить множество классов в кольцо, при естественном определении действий сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом вычетов по модулю m и обозначается А/шА.

§2] ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ 2СЗ

Предложение 1. Кольцо вычетов А/рА факториального кольца по неразложимому элементу р есть область целостности.

Доказательство. Пусть а, Ь<=А и а, В— содержащие их классы по модулю р. Допустим, что ab=0. Это означает, что ab Делится на р. Разложим а и & на неразложимые множители. Неразложимый элемент р должен входить в объединение неразложимых множителей, входящих в а и Ь, в силу однозначности разложения. Следовательно, р входит в а или в Ь, т. е. a = О или 6 = 0.

Заметим, что для колец A = Z и А = К[х] кольцо вычетов было не только областью целостности, но даже полем. Вообще же это не так. Например, для кольца А = Z[х] элементы 2 и г*+ 1 неразложимы. А/2А есть кольцо полиномов над полем GF (2) вычетов по модулю 2, Л/О2+ 1)А изоморфно кольцу комплексных чисел с целыми компонентами. В обоих случаях это не поля,

3. Лемма Гаусса. Полином из кольца полиномов А[х] с коэффициентами из факториального кольца Л называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.

Если m е Л, то полиномы из А[х] разбиваются на классы сравнимых по модулю ш, если отнести в один класс те, разность которых имеет коэффициенты, делящиеся на т. Ясно, что для классов единственным образом определяются сложение и умножение, по отношению к которым классы образуют кольцо, изоморфное кольцу полиномов над кольцом А/пгА.

Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов из А[х] есть примитивный полином.

Доказательство. Допустим, что произведение fif 2 двух примитивных полиномов не примитивно. Пусть р — неразложимый элемент, входящий во все коэффициенты fif2. Переходов кольцо классов вычетов по р в кольце А[х], получим /J8 = O. Но это кольцо есть кольцо полиномов над областью целостности А/рА, и потому само является областью целостности. Поэтому либо Ji = 0, либо J2 = 0, что противоречит примитивности fi и f2.

Ясно, что лемма остается справедливой для произведения любого числа примитивных полиномов.

4. Факториальность кольца полиномов над факториальным кольцом. Пусть Л — факториальное кольцо и К — его поле частных.

Предложение 3. Если f^A[x] — примитивный полином и с s К такое, что cf е Л [я], то се Л.

Доказательство. Пусть с = - j. Без нарушения общности

можно считать, что н. о. д. (b, d) равен 1, ибо если он отличен от 1,

то ¦J- можно сократить. Пусть f=aoxn-\- ... + ап. При любом I

а,Ь

¦-J-= Л. В силу факториальности Л каждый неразложимый множитель d входит в щ, ибо dab общих неразложимых множителей

210

ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ІГЛ. VIII

не имеют. Следовательно, а — обратимый элемент кольца Л, иначе f не был бы примитивен, так что сєА

Предложение 4 (теорема Гаусса). Если полином f ^ А[х] приводим над полем К, то он может быть разложен и над кольцом А.

Пусть / = fif2, где fi є К [х] и f2 є К [х]. Запишем fi и /2 в виде ^igi и c2g2, где Си с2 є К, a gi и g2 — примитивные полиномы в А[х]. Это всегда можно сделать. Далее, / = CiC2g}g2. В силу леммы Гаусса и предложения 3, CiC2 є А. Тем самым теорема доказана.

Обратимся теперь к разложению полинома на неразложимые множители. Пусть /єЛ[х] и над полем К разложение f на неприводимые множители есть f = фіфг ... ф* (равные или ассоциированные множители допускаются). Каждый ф< представлен в виде с,фг, где Ci^K, ф,еЛ[х] примитивен. Тогда /=c\t>iif2 ... ... tyk, где с = Ci ... Ck и, в силу леммы Гаусса и предложения 3, с є Л. Сомножители определены однозначно, с точностью до множителей, являющихся единицами кольца Л.
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed