Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
§2J
РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ
201
х2 + 1. Обозначив класс, содержащий х, через і, получим, что все комплексные числа имеют вид а + Ы при a, 6eR. Так как X2 = —1 (modX2 + 1), то i2 = —1 и т. д.).
f
Вычисление, посредством которого значение дроби — на алгебраическом элементе преобразуется в значение полинома, называется исключением иррациональности в знаменателе.
Пример. Исключить иррациональность в знаменателе выра-
жения а2 4¦"^1 Ij. і ' гДе а — корень полинома хг — х—1.
Мы знаем, что результат может быть единственным образом представлен в виде Aa2 + Ba + С. Записав равенство а2 t
= Ла2+Ва+С, получим, что а + 1 = (Aa2 + Ba + С) (а2 + а + + 1)= Ла4 + (Л + В)а3 + (Л+В + C)a2 + (? + C)a + C.
Далее, а3 = а + 1 и а4 = а2 + а. Поэтому а + 1 = А (а2 + а) + (А + В) (а + 1) + (А + В + С)а2 +
+ (?+Qa+C.
В силу однозначности записи в виде полинома от а не выше второй степени, получаем
2Л + В + С = 0, 24+ 2B+ C= 1, Л + В + С = 1.
Получилась система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, и мы знаем заранее, что она имеет единственное решение. Мы легко его найдем: A = —1, B= 1, C=L Итак,
а + 1 2 1 !1
—5—і-тт = — а + а + 1.
а2 + а + 1 1 1
2. Конструирование простых расширений. Результаты п. 1 показывают, что с точностью до изоморфизма можно конструировать простые расширения поля К, не обращаясь к рассмотрению поля ft, из которого берутся присоединяемые элементы. Так, простое трансцендентное расширение есть поле рациональных дробей К(х) от некоторой буквы. Простое трансцендентное расширение поля К(х) есть поле рациональных дробей от буквы у с коэффициентами из К(х). Каждую такую дробь посредством умножения на произведения всех знаменателей коэффициентов при у
можно привести к виду д J*' частного двух полиномов OT X
и у, так что двукратное трансцендентное расширение приводит к полю частных кольца полиномов от двух букв, и т. д.
Алгебраические же расширения можно конструировать как поля вычетов кольца полиномов по неприводимым полиномам.
Рассмотрим еще один пример. Мы выяснили раньше, что над полем из двух элементов имеется один неприводимый полином х + X + 1 второй степени.
202 СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕП [ГЛ. VII
Поле вычетов по нему состоит из четырех элементов 0, 1, р, р-f-l, где через р обозначен класс, содержащий х. Сложение в этом поле совершается естественным образом, только характеристика поля равна 2, так что сложение каждого элемента с собой дает 0. Умножение же характеризуется тем, что р2 -f- р + 1 = 0, т. е. р2 = р + 1.
Как уже говорилось выше, над полем вычетов GF(р) по простому модулю р существуют неприводимые полиномы любой степени. Поле вычетов по модулю неприводимого полинома степени п имеет рп элементов, ибо каждый элемент такого поля можно однозначно записать в виде полинома степени п—1 или ниже, и для коэффициентов таких полиномов имеется ровно рп возможностей. Оказывается, что все такие поля изоморфны, так что различные неприводимые полиномы степени п приводят к изоморфным полям вычетов. Так построенные поля из рп элементов носят название полей Галуа и обозначаются GFCp"). Доказывается, что никаких других полей из конечного числа элементов не существует.
ГЛАВА VIII
ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
§ 1. Полиномы с целыми коэффициентами
Полиномы с рациональными коэффициентами и полиномы с целыми коэффициентами тесно связаны между собой, ибо каждый полином с рациональными коэффициентами может быть превращен в полином с целыми коэффициентами посредством умножения на общий знаменатель коэффициентов. Изучение кольца Z [х] полиномов с целыми коэффициентами интересно также потому, что Z [л] есть простейший пример кольца полиномов над факториаль-ным кольцом.
1. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.
Теорема 1. Если несократимая дробь -^- является корнем
полинома аохп + аххп~х + ... -\-ап, апфО, с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена, а знаменатель q— делителем старшего коэффициента.
(п \ п / п \ п~Х
¦у J + a, ^ ¦^-J + ...
...+«„-і у + ап = 0. Тогда а0рп + axpn~xq + ... + an-Xpqn-x +
+ a„a" = 0 и anqn = p{—aopn-x — axpn-2q— ... — a„-Xq"-x). Таким образом, число anqn делится на р в кольце целых чисел. По условию о и р взаимно просты, следовательно, ап делится на р. Аналогично, из равенства
а0рп = q(—ахрп~х — ... — an-xpqn-2 — anqn~x)
заключаем, что а0 делится на о.
Доказанная теорема дает возможность найти рациональные корни полинома с целыми (следовательно, и с рациональными) коэффициентами в конечном числе действий. Именно, нужно найти все делители свободного члена и все делители старшего коэффициента, составить из них несократимые дроби и испытать посредством подстановки в полином. Если во всех случаях испытание даст отрицательный результат, то это значит, что полином не имеет рациональных корней. Сделанное в теореме предположение о неравенстве нулю свободного члена не ограничивает общности: если свободный член и, быть может, еще несколько младших коэффициентов обращаются в 0, то можно вынести из полинома надлежащую степень х так, чтобы после вынесения остался поли-
