Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
== ^ lg~.\'? Для ~J противоположным является —-, ибо
f , -f = fg-fg = о = о *
gg. g2 g2 1 '
Итак, рациональные дроби образуют абелеву группу по отношению к сложению.
Теперь определим умножение столь же естественным образом:
fi , U def f і fa
gl g2 gig2 '
Проверим корректность определения. Пусть -Д- = -J- и ~^- = ~у~> т. е. ftg3 — f3gt = О И /2#4 — f4ft = 0.
Сравним, согласно определению равенства, дроби -^- и ¦Jy-« Имеем
fifsgag* — fafigta == fif2^4 — /3/2? l?4 + f3/Wi?4 ~ hfig\g2 =
= /sff4 - /з?і) + /agi (/aft — f*g2) = 0.
Умножение, очевидно, коммутативно и ассоциативно и связано со сложением дистрибутивностью. Проверим последнее:
(Ji- і ^ ^ ^3 = f|ga + ^2gl . ^3 — ^'bga + hhgi . V STi ga J gi gig2 ' ga gigigz '
fi Jl. і____ /ifo і /s/з __ fifcga і ^gi _ [ifigj + /2/3gi
gl " gs ^ g2 gs gigs ^ g2gs gig2gs ^ gigags gig2ga
Элемент 4- является единицей. Действительно, —•4- = — .
1 gig
Далее, всякий отличный от нуля элемент имеет обратный. Действительно, ф у означает, что f фО, т. е. у имеет смысл и
1 g__L
g f ~ і *
Итак, множество построенных формальных дробей образует поле. Оно называется полем рациональных функций от буквы х и обозначается К(х) (простые скобки!).
Кольцо К[х] естественно вкладывается в поле К(х).
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
183
Именно, положим у=-/, где / є К [х\. Нужно убедиться в корректности этого отождествления, для чего нужно доказать, что оно не вступает в противоречие с определением равенства и определениями действий сложения и умножения. Это легко проверяется:
«Y = Y" равносильно равенству /i-І—f2-l=0, т.. е. /1=/2;
4- -у- = h~^f2 и ---Y=^j1, т. е. при сложении и умножении дробей вида у- получаются результаты, соответствующие результатам тех же действий над полиномами.
2. Поле частных. Присмотримся внимательнее к рассуждениям п. 1. Мы видим, что в этих рассуждениях мы почти не пользовались тем, что употреблявшиеся буквы обозначали полиномы. Нам было нужно, чтобы эти буквы были элементами коммутативного ассоциативного кольца с единицей, являющегося областью целостности. Этим мы пользовались при проверке транзитивности равенства дробей и при определениях их сложения и умножения, так как в определении дроби запрещено появление элемента 0 в знаменателе и нужно, чтобы знаменатель суммы и произведения был отличен от нуля.
V Мы можем теперь повторить построения п. 1 на более высоком уровне абстракции.
Пусть А — произвольная коммутативная ассоциативная область
целостности. Рассмотрим множество пар , g Ф О, элементов А.
Введем для них определения равенства и действий сложения и умножения:
о Jj- л. Il Й?| Ag2 + hS\ .
' gl gl glg2 '
3 ft . Ь def Ufї
gl ' g2 glg2 '
Слово в слово так же, как в п. 1, проверяется корректность Этих определений. По отношению к сложению символы -^- образуют абелеву группу с нулем ^ (который не зависит от g, согласно определению равенства). По отношению к умножению все ненулевые пары (т. е. отличные от -j) образуют абелеву группу с единицей — (не зависящей от g) и с обратным для -^- элементом у.
Умножение со сложением связано дистрибутивностью. Таким образом, мы построили поле, которое называется полем частных для области целостности А.
184
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
(ГЛ. VI
Кольцо А могло не содержать единицу, в поле частных она появляется.
Наконец, кольцо А вкладывается в свое поле частных посредством отождествления
— = / (при любом g Ф о).
Ясно, что поле частных для кольца целых чисел есть поле Q рациональных чисел. Подобно полиномам от одной буквы, множество ПОЛИНОМОВ К\х\, ...,Xk] OT НеСКОЛЬКИХ букв JCi, Х2, Xk
является областью целостности и вкладывается в поле частных
F (х , X X \
К(хи X2, ..., Xn), состоящее из дробей г , ''—-—'¦—Щ-.
U \XV Х2.....Xk)
3. Правильные рациональные дроби. Вернемся к изучению рациональных дробей от одной буквы. Рациональная дробь может
г
быть записана в форме многими способами. Однако всегда
можно перейти к несократимой записи — со взаимно, простыми числителем и знаменателем. Для этого достаточно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократить на него. Далее, старший коэффициент знаменателя можно вынести и присоединить к числителю, после чего знаменатель можно считать нормализованным. Несократимая запись дроби с нормализованным знаменателем называется нормализованной записью дроби, или нормализованной дробью. Две нормализованные дроби равны, только если равны их числители и знаменатели, т. е. совпадают по
f f
записи. Действительно, если — = —-—равенство двух нормали-
Sl 8 2
зованных дробей, то fig2 = f2gi- Полином gi взаимно прост с fi в силу несократимости и, следовательно, g2 делится на gu
Аналогично, g\ делится на g2, т. е. они ассоциированы. Так как их старшие коэффициенты равны 1, они совпадают; следовательно, совпадают /і и f2.
