Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Рациональная дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя. Если дробь правильная в некоторой записи, то она остается правильной в несократимой записи, так как при сокращении степени числителя и знаменателя уменьшаются на одно и то же число, а значит, и во всякой другой записи, ибо любая запись получается из несократимой посредством умножения числителя и знаменателя на один и тот же полином.
Предложение 1. Любая рациональная дробь есть сумма полинома и правильной дроби.
Действительно, пусть -j — данная дробь. Поделим / на g с
остатком: f = gq+_r, degr<degg. Тогда—= —-^ = -7- + 7 =
if 3] РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 185
= q +¦J- Здесь q — полином (он может равняться 0, если
degf < degg), a j — правильная дробь.
Предложение 2. Сумма, разность и произведение правильных дробей есть правильная дробь.
(Здесь имеется существенное отличие от арифметики рацио-
1.2 7 \
нальных чисел, где, например, "2 "+" T = б" * J
Доказательство. Пусть дроби —^- и — правильные. Они останутся правильными и при записи -^2- и І2?і_ а — ±—=
J * г 8\8г g\gi gi g2
__ Figi ± /гgi Степени обоих слагаемых в числителе меньше сте-
g\g2
пени знаменателя, следовательно, степень числителя меньше сте-
f f ff
пени знаменателя. Для произведения — • — = „1 2 имеем
g\ gl glg2
degfrf2 = deg/i + deg/2 < deggi + degg2 = degg,g2.
Таким образом, правильные дроби образуют кольцо. Оно не содержит 1.
4. Разложение рациональной дроби на простейшие.
Предложение 3. Если знаменатель правильной рациональ-f
ной дроби ^^К{х) есть произведение двух взаимно простых полиномов, g = gig2, то дробь представляется в виде суммы двух правильных дробей со знаменателями, равными сомножителям
gi и g2 знаменателя исходной дроби, т. е. -J-— = + -^2-, причем
обе дроби в правой части правильные. Такое представление единственно.
Доказательство. Так как g\ и g2 взаимно просты, найдутся полиномы Mi и M2 такие, что g\M\ + g2M2 = 1. Тогда
JL. = J- {glMl + g2M4) =-^. + A.
gig* glg2 1162 g2 gi
В этом разложении слагаемые правой части, вообще говоря, не являются правильными дробями. Поделим полином fM2 на g\ с
остатком: fM2 = giq + fi, degfi<deggb так что =q +
б I ft I
Присоединим q к первому слагаемому. Получим —— = -4-q-f-+ W + № Здесь первое слагаемое Hi±i?l = A
gl g2 gl M V g2 gl
автоматически оказывается правильной дробью как разность пра-
f f f f f вильных дробей —-— и —. Итак, -= -1- 4- --- и оба слагае-
g'.qi gl gig? gl g2
мых в правой части равенства — правильные дроби.
186
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
1гл. VI
Остается доказать единственность. Пусть
glgi gl g2 gl sf2 '
t _ f t _ t
причем все дроби правильные. Тогда gl ~ g и ?2(/1 — /3) =
= ^1(/4-/2)- Левая часть делится на gi и полином g2 взаимно прост с gi. Поэтому /і — /3 делится на gi, что возможно только при /і — /3 = 0, ибо степень /і—/3 меньше степени gi. Итак, /1 = /з и, следовательно, /2 = /4. Предложение доказано полностью.
Теперь обобщим это предложение.
Предложение 4. Если знаменатель g правильной рацио-f
нальной дроби ~<= К(х) есть произведение gig2 ... gk нескольких попарно взаимно простых полиномов, то дробь представляется в
if f
виде суммы — Ч—- + ¦ • • Ч—— правильных дробей и такое
g\ S2 Sk
представление единственно.
Доказательство проведем индукцией по числу сомножителей. Ваза индукции есть при k = 2. Далее, g = gi (g2 ... gh) и поли-
f Ї f
номы gi и g2 ... gk взаимно просты. Поэтому -7 = -7-+ -г-—.
Ко второму слагаемому применяется индуктивное предположение. ff р
Разложение --- = —- -\--— единственно по предложению
g r] во ¦ ¦ ¦ gk
f {, fk
3, и разложение -= — + ... + —— единственно по индук-
82 ¦¦¦ Sk Sk
тивному предположению. Следовательно, разложение — =--\-
g gi
f fi.
А—- + ... + —- единственно.
Полином из К[х] имеет каноническое разложение на неприводимые множители g = а0ф"'ф2"2 ... ф™* правильная рациональная дробь раскладывается на сум-му правильных дробей со знаменателями ф"1', q>T2, ф™А- Эти дроби носят название примарных.
Действительно, пусть дробь (в нормализованной записи) есть f
-¦-, где фь ф2, Фа — попарно различные нормали-
<f"h<f22 ... <Pftfc
зованные неприводимые полиномы. Тогда они попарно взаимно просты и их степени ф"\ ф™* тоже попарно взаимно просты. Применение предложения 4 дает требуемое разложение;
f П . , . ft
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
187
Оно единственно в силу предыдущих предложений.
Примарная дробь называется простейшей, если ее числитель есть полином, степень которого меньше степени, неприводимого полинома, входящего в знаменатель.
Предложение 5. Любая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.
Доказательство. Пусть-^n- — данная примарная правильная дробь. Поделим / на ф с остатком: / = <pq\ + /ь deg/i <: deg9. Тогда ~- = —. Такое представление единственно, ибо
