Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 64

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 168 >> Следующая


Действительно, либо fi делится на ф, либо /і и ф взаимно просты. Во втором случае /2 делится на ф в силу предложения 4.

Предложение 13. Пусть f\, f2, fk^K[x] и произведение f\f2 ... fk делится на неприводимый в К[х] полином ц>. Тогда один из сомножителей делится на ф.

Доказывается очевидным применением индукции на основании предложения 12.

Предложение 14. Если неприводимый над К полином имеет корень X0 в некотором расширении ft поля К и этот корень является корнем полинома f^K[x], то f делится на ф.

Действительно, f и ф не взаимно просты, ибо имеют общий делитель X — Xo<^ft[x], и, согласно предложению 10, f делится на ф.

Отсюда следует, что любой корень полинома ф является корнем /, так что, по словам венгерского математика Пойа, «корни неприводимых полиномов ходят в гости всей семьей».

6. Каноническое разложение.

Предложение 15. Каждый полином К [х] степени ^l делится по крайней мере на один неприводимый в К[х] полином.

Доказательство индукцией по степени. Полиномы первой -степени неприводимы. Далее, если f неприводим, то он делится на себя. Если приводим, то делится на полином f\^K[x] меньшей степени, который по индуктивному предположению делится на неприводимый в К[х] полином ф. Тогда и f делится на ф.

Теорема 16. Любой полином из К[х] степени может

быть представлен в виде произведения неприводимых над К полиномов, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

Доказательство. Пусть f^K[x]. В силу предложения 14 f делится на неприводимый полином фь так что / == фі/і. В свою

I 1] теория делимости для полиномов ot одной буквы 173

очередь, /і делится на некоторый неприводимый полином ф2, так что /i = фг/г и / = Ф1Ф2/2, и т. д. Процесс выделения неприводимых сомножителей закончится в конечное число шагов, ибо степени полиномов f,'fi, f2 ... строго убывают. Итак, f = ф,ф2 ... фА, где все ф(- неприводимы. Остается доказать единственность разложения. Применим индукцию по степени. Базу индукции дают полиномы первой степени. Пусть f = фіф2 ... ф* и / = It)1Ip2 ... г|>/ — два разложения полинома / на неприводимые. Произведение я|)іг|>2 ... tyi делится на фь В силу предложения 13 один из сомножителей tyi, Ij)2, гр/ делится на фь За счет изменения нумерации можно считать, что грі делится на фь Так как грі и фі оба неприводимы, они ассоциированы, т. е. грі=сіфі при Ci є К. Положим f = ф^,. Полином fi ^К[х] имеет меньшую степень чем f и имеет два разложения на неприводимые сомножители: fx = ф2 ... ф*. и I1=Id^2) ... гр*. В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности, а значит, такими же будут разложения f = = фіф2 ... ф* и / = ірігр2 ... гр/. Теорема доказана.

Если считать неприводимые полиномы нормализованными, то в разложение следует ввести константный множитель а0, равный коэффициенту в старшем члене полинома /, так что разложение принимает вид / = а0фіфг • • • Ф*. В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Среди сомножителей могут быть равные, и их можно объединить в степени. Разложение принимает вид

f = a0<p?«(p?« ... Ф>,

где фь ф2, Фт — попарно различные нормализованные неприводимые в К[х] полиномы. Это разложение называется каноническим разложением на множители полинома из К[х]. Оно аналогично разложению целых чисел в произведение простых.

Предложение 17. Над любым полем существует бесконечно много неприводимых полиномов.

Доказательство проведем по той же схеме, что и доказательство бесконечности множества простых чисел. Именно, если дана любая конечная совокупность неприводимых полиномов фЬ ф2, ..., фй, составим полином F = фіф2 ... ф*+1. Он делится по крайней мере на один неприводимый полином гр, который не может равняться ни фь ни ф2, ни ф*., ибо иначе 1 делилась бы на гр. Таким образом, для любого конечного множества неприводимых полиномов мы можем построить новый неприводимый полином, не содержащийся в этом множестве.

Предложение 17 тривиально, если поле содержит бесконечно много элементов, ибо над таким полем существует бесконечно много полиномов первой степени X — с, которые все неприводимы, и содержательно лишь для конечных полей, к числу которых принадлежат кольца вычетов по простым модулям. Для любого ко-

174

ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ

[ГЛ. VI

нечного поля существует лишь конечное число qn нормализованных полиномов хп + а\хп~к + ... + ап степени п (здесь q обозначает число элементов поля). Поскольку число неприводимых полиномов бесконечно, среди них существуют полиномы сколь угодно высокой степени.При помощи значительно более тонких рассуждений можно доказать, что над конечным полем существуют неприводимые полиномы любой степени.

Вычислим неприводимые полиномы второй и третьей степени над полем из двух элементов (полем вычетов по модулю 2). Полиномов первой степени два: х и х + 1. Полиномов второй степени четыре: X2, х2-\-\, X2 + X и х2-f-х + 1. Из них приводимы х2, (х + I)2 = X2 + 1 и X(х + 1) = X2 -f х. Неприводимым оказывается один полином x2 + x-f-l. Полиномов третьей степени восемь. Из них шесть приводимы: х3, х2(х + 1) = х3 + х2, х(х+1)2 =
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed