Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 19. Полином, f может быть разложен по степеням X — с.
§2]
ПРОИЗВОДНАЯ
177
Доказательство. Проведем индукцию по степени с тривиальной базой полиномов нулевой степени. Разделим f на х— с с остатком. Получим
f(a)==(x — c)fi(x) + bn,
где Ьп — остаток, f\(x)— полином степени п—1.B силу индуктивного предположения
U(X) = O0(AT-C)"-1 + O1 (X — С)п'2+ ... +Ьп-1,
откуда
f(x) = b0(x — c)n + bi(x — с)"-1+ ... +bn-i(x — c) + bn.
Приведенное доказательство дает и процесс для вычисления коэффициентов. Свободный член Ьп разложения дается как остаток от деления f на х — с. Рассуждение по индукции заменяет единообразный процесс, так что Ьп-\ есть остаток при делении неполного частного fi на X — с, и вычисление последующих коэффициентов требует вычисления неполного частного /2 при делении fi на X — с. Далее, Ьп-2 находится как остаток при делении \2 на X — с и т. д. Итак, нужно делить на х — с полином f и последующие неполные частные. Остатки дадут коэффициенты разложения, начиная со свободного члена. Деление целесообразно выполнять, пользуясь схемой Хорнера, рассмотренной на стр. 58.
Пример. Разложим полином хъ по степеням х — 2. Согласно схеме Хорнера запишем:
1 0 0 0 0 О I 2
1 2 4 8 16 32
1 4 12 32 8_0
1 6 24 80
1 8 40
1 Ш
1
Остатки подчеркнуты. Таким образом,
х5 = (х —2)5+ 10(л: —2)* + 40(х —2)3 + 80(л: —2)2 +
+80 (л:— 2)+ 32.
-В случае поля нулевой характеристики можно дать удобную для теоретических рассуждений формулу для коэффициентов разложения.
Выведем эту формулу.
Пусть f = do + di(x — c) + d2(x — с)2+ ... +dn(x — с)п (нам Удобно записать по возрастающим степеням х — с).
178
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
1ГЛ. VI
Возьмем производные до п-то порядка включительно (дальнейшие все равны нулю):
f = d] + 2d2(x-c) + ... +ndn(x-cf-\
f" = 2d2 + 3-2d3(x-c) + ... + п(п- 1) dn (x-cf~\
p-n = (n_ i)(rt-2) ... 2d„_,+n(«-l) ... 2dn(x-c), /w = n(/i—1) ... 2d„. Положим во всех этих равенствах х = с. Получим / (с) = d0> Г (C) = (I1, f"(c) = 2d2,
р-«>(с) = (я-1)(я- 2) ... 2 ?*„_,, f^(c) = n(n- 1) ... 2dn,
откуда
do — I KP), ol — — , "2 — -2f-> • • • > — („_ і)! > d« — —^- .
и разложение принимает вид
/ = /(*) + HT-(^-с) + 1^p-(X-Cf +...+І^І?і (X-C)".
Эта формула называется формулой Тейлора.
Для приближенного вычисления корней полинома бывает нужно вычислять {(с) и /'(с) при значении с, близком к корню. Ясно, что выполнить это проще всего при помощи схемы Хорнера, вычислив по этой схеме два коэффициента разложения f по степеням х — с.
Пример. Для полинома х3 — х— 1 вычислить /(1,2) и /'(1,2). Применяем схему Хорнера:
10 -1-1 I 1,2 1 1,2 0,44 — 0,472 1 2,4 3^32
Итак, f (1, 2) = —0,472 Hf(U) = 3,32.
3. Разделение множителей различной кратности.
Предложение 20. Простой корень полинома не является корнем его производной.
Пусть с —простой корень полинома f, так что f = (х — c)fx и fi не делится на х — с, т. е. fi (с) Ф 0. Тогда /' = Z1 •+¦ (х — с) f\ и f (с) = !, (с)Ф0.
Предложение 21. Корень с полинома из К[х] кратности k является корнем производной кратности k — 1, если только k не
ПРОИЗВОДНАЯ
179
делится на характеристику основного поля К (в частности, если эта характеристика равна 0).
Действительно, пусть f = (х — с)*/[, причем I1(C) ф 0. Тогда f' = k(x- с)*-% + (х- с)% = (х- cf-1 [kf, + (х - с) /[] =
s=(x — c)k~ 1F (х). Полином F(x) не делится на х—с, ибо F(с) = = к{і(с)ф 0 (k не делится на характеристику!).
Эти предложения можно несколько обобщить.
Напомним, что полиномы f<^K[x] разлагаются в произведение неприводимых над К множителей
/ = а0Ф?'ФІ2 • • • Фт"1' Ф* ^ Ф/-
Предположим, что характеристика поля k равна нулю.
Предложение 22. Однократный неприводимый множитель полинома не входит в разложение его производной.
Действительно, пусть f = аоф/% Ф неприводим и F не делится на ф. Тогда f = a^'F + a^F'. Полином <р' ненулевой, его степень меньше степени ф, поэтому ф' взаимно прост с ф (в поле ненулевой характеристики могло случиться, что ф' = 0). Полином F тоже взаимно прост с ф, ибо F не делится на <р и <р неприводим. Первое слагаемое a^'F взаимно просто с ф, второе a^F' делится на ф. Следовательно, /' взаимно прост с ф.
Предложение 23. Неприводимый над К полином ф, входящий в разложение полинома f є К [х] с показателем k, входит в разложение f с показателем k — 1.
Действительно, пусть f = q>kFi при Fi, взаимно простом с ф. Тогда Y = йф*-1ф//71 + ф^ = фА-1(Аф'Р1 + ф/;'{). Первое слагаемое в скобках ktfFi взаимно просто с ф, второе делится на ф. Следовательно, полином ky'Fx + (pF[ взаимно прост с ф и f не делится на фй.
Эти предложения позволяют, оставаясь в кольце К[х], отделить друг от друга произведения неприводимых сомножителей, входящих в f ^ К[х] с различными показателями.
Действительно, пусть / = ау^кр^г ... ,ф^ти пусть di — наибольший общий делитель f и f. Неприводимыми множителями ДЛЯ 0*1 могут быть только фь ф2.....фт, ибо f делится на di, и они ВХОДЯТ в di с показателями ki — 1, k2— 1, ..., km— 1, так что f=difi, где df =ф^і-'ф*2-1 ... Ф^т-1 и fi = а0ф1ф2 ... фт. В нє будут
