Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Находить наибольший общий делитель двух полиномов можно тем же способом, что и для двух целых чисел, — алгорифмом Евклида. Именно, выполним цепочку делений с остатком:
f\=ftf\ + ru deg г, < deg/2, и = г\Я2 + г2, degr2<degr1( r\ = r2q3 + г3, deg г, < deg г2
rk-2 = rk_xqk + rk, deg гк < deg rft_b
г A-I = г кЯк+1-
Процесс оборвется, на каком-то шагу деление выполнится без остатка, ибо степень каждого последующего остатка меньше сте--пени предыдущего.
Все остатки, которые мы строим, принадлежат множеству W = {fiNi + f2N2\Nx, N2 є К[х]}, и мы «спускаемся» в смысле степени в этом множестве. Последний отличный от нуля остаток гк и будет искомым наибольшим общим делителем ДЛЯ fi и J2. Действительно, пересмотр равенств снизу вверх показывает, что
г* является делителем Гк-и гк-2.....r\, f2, /1, а пересмотр сверху
вниз — что все остатки п, г2, гк делятся на любой общий делитель /і и /2. Очевидно, что из алгорифма Евклида следуют все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме.
4. Свойства взаимно простых полиномов. Два полинома называются взаимно простыми, если их нормализованный наибольший общий делитель равен 1, т. е. эти полиномы не имеют общих делителей, кроме констант.
Предложение 3. Для того чтобы полиномы f\ и f2 были взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы существовали полиномы Mx и M2 такие, что fiMx -f- /2Л12 = 1.
Действительно, если f\M\ + f2M2 = 1, то всякий общий делитель для Af1 и Af2 делит единицу и является константой. Если Z1 H /о взаимно простые, то их нормализованный наибольший общий делитель 1 имеет линейное представление 1 = ZiAf1 -f- /2Af2.
$ I] ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ OT ОДНОЙ БУКВЫ (71
Предложение 4. Если произведение fif2 делится на /3 и /і взаимно прост с f3, то f2 делится на /3.
Действительно, поскольку /ь /3 взаимно простые, найдутся Al1 и Af2 такие, что /1Al1 + /3А12 = 1. Умножив на /2, получим: J2 = = /1/2АІ1 + /3/2-M2. Первое слагаемое правой части делится на /3, ибо fif2 делится на /3, второе делится на f3 тривиальным образом, следовательно, их сумма /2 делится на f3.
Предложение 5. Если /] и /2 оба взаимно просты с g, то и их произведение fif2 взаимно просто с g.
Действительно, существуют Ali, AJ2, Af3, Af4 такие, что Z1Af1 + + gAf2 = 1 и /2А13 -J- gMi = 1. Перемножив эти равенства, получим /1Z2Al1Af3+ ^(Al2Z2Af3 +Z1Af1Al4 + ^AJ2Al4)= 1, так что fif2 и g удовлетворяют признаку взаимной простоты.
Предложение 6. Если каждый из полиномов fi, /2, ..., fit взаимно прост с g, то и их произведение fif2 взаимно про-
сто с g.
Это предложение доказывается очевидным проведением индукции на основании предложения 5.
Предложение 7. Если каждый из полиномов Zb /т взаимно прост с .каждым из полиномов gi, g2, gn, то произведение fi ... fm взаимно просто с произведением gl ... gn.
Это доказывается многократным применением предложения 6,
Предложение 8. Если fug взаимно просты, то fm и gn взаимно просты.
Это непосредственно следует из предложения 7, достаточно
положить fi = . . . = fm а gl = ¦ ¦ ¦ == gn.
Отметим еще одно свойство взаимно простых полиномов, не имеющее аналога в теории делимости целых чисел.
Предложение 9. Если полиномы fug взаимно просты, то они не имеют общих корней ни в каком расширении основного поля.
Действительно, пусть /, g принадлежат кольцу К[х] и взаимно просты. Пусть $ — любое поле, содержащее поле К, и пусть AT0 є ft. Из взаимной простоты следует, что существуют полиномы Ali и Af2 є К[х] такие, что fMx + gAl2 = 1. Перейдя к значениям при хо, получим /(AT0)Al1 (X0) + g(.Vo)Al2Oo) = 1, откуда следует, что f(x0) и §(хо) не могут одновременно равняться нулю.
Неприводимые полиномы. Отличный от константы полином ц)^К[х] называется неприводимым в поле К, если он не имеет нетривиальных делителей в К[х]. В противном случае полином называется приводимым в поле К-
Очевидно, что неприводимые полиномы в теории делимости полиномов должны играть такую же роль, как простые числа в теории делимости целых чисел, т. е. роль неразложимых в кольце К[х] элементов.
Отметим, что понятие неприводимого полинома существенно привязано к полю. Так, полином х2 — 2 неприводим в поле Q ра-
172
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
ІГЛ. VI
циональных чисел, ибо он не имеет рациональных корней, но он приводим в поле R вещественных чисел: х2 — 2 = (л; — д/2) (х -J-+ V2).
Предложение 10. Пусть f^K[x] и ср неприводим в К. Тогда либо f делится на ср, либо f взаимно прост с ср.
Доказательство. Рассмотрим нормализованный наибольший общий делитель d полиномов / и ф. Полином ф делится на d и de К[х]. Поэтому d или ассоциирован с ф, или равен 1. В первом случае / делится на ф, ибо делится на d. Во втором / и ф взаимно просты. ^
Предложение 11. Если щ и ф2 неприводимы в К[х], то они либо взаимно просты, либо ассоциированы.
Действительно, если фі и ф2 не взаимно просты, то фі делится на ср2 и ф2 делится на фь так что фі и ф2 ассоциированы.
Предложение 12. Пусть f\, f2<^K[x] и произведение /т/2 делится на неприводимый в К[х] полином ф. Тогда один из сомно-окителей делится на ф.
