Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 65

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 168 >> Следующая


= X3 + X, (X+ I)3 = X3 + X2 + X+ 1, X(X2 + X+ 1)= X3 +X2 +X

и (х + 1) (х2 + X + 1) = X3 + 1. Остальные два полинома х3 -f- x-j- 1 и X3 + X2 -f 1 неприводимы.

Аналогично, отбрасывая приводимые полиномы, которые легко конструируются из неприводимых полиномов меньших степеней, можно строить неприводимые полиномы четвертой, пятой степеней и т. д. Имеются и другие, более тонкие средства.

7. Каноническое разложение над полем R комплексных чисел и над полем С вещественных чисел. Каноническое разложение над полем C нам уже известно. Это разложение f(x)=ao(x— X1)"1 ... ... (х — Xk)nk на линейные множители, соответствующие корням f(x).

Предложение 18. Над полем вещественных чисел неприводимыми полиномами являются только полиномы первой степени и полиномы второй степени, не имеющие вещественных корней.

Доказательство. Пусть / = а0хп + ... + а„ є R [х] и п ^ 2. Если полином f имеет вещественный корень, то он имеет делитель первой степени и, следовательно, приводим. Неприводимыми могут быть только полиномы, не имеющие вещественных корней. Пусть / — такой полином. Он имеет по крайней мере один комплексный корень X0 == a + bi, при Ь ф 0. Рассмотрим вспомогательный полином

Ф (х)=(х—х0) (х—х0)=(х—а—Ы) (х—а+Ы)=х2—2ах+а2+Ь2.

Ясно, что ф(х)єК[х] и ф неприводим над IR, ибо иначе он имел бы делитель первой степени и вещественный корень. Полиномы f и ф не взаимно простые, ибо имеют общий корень в С и, следовательно, f делится на ф. Если степень / равна 2, то f ассоциирован с ф и неприводим. Если степень f больше 2, то f приводим.

В силу доказанного предложения каноническое разложение полинома /є R [х] имеет вид:

/ (X)=U0(X-X1)"1! ... (x-xk)mk (x2+pxx+qx)h ... (x2+prx+qrYr,

§2]

ПРОИЗВОДНАЯ

175

где полиномы х2 + Pix + qi є R [х] не имеют вещественных корней, т. е. р] — Aqi < 0.

Отметим простое, но важное следствие: если полином с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень а + Ы, ЬФО, то он имеет и сопряженный корень а — Ы той же кратности.

Действительно, комплексные корни а + Ы при Ъ ф 0 являются корнями полиномов второй степени, входящих в каноническое разложение, а каждый такой полином вместе с корнем a + hi имеет корень а — Ы.

Пример. Найти каноническое разложение в R [х] полинома х2п+1.

Здесь множителей первой степени нет, так как полином не имеет вещественных корней. Все комплексные корни простые, так что множители второй степени входят с показателями 1. Сперва напишем разложение в кольце С [.«], для чего найдем корни

2п In

Xk=У ~-1 — VC0S ( ~~" я) + г' sin ( — Л) =

= cos (2fe71)jt+/sin (2fe7'>*

при k=l, 2, 2п. Корни Xk при k=l, 2, п имеют аргументы меньше л, так что они находятся в верхней полуплоскости. Корни Xk при k = n+\, 2п расположены в нижней полуплоскости и, в силу следствия из канонического разложения, сопряжены с корнями Xk при k=\, п (легко проверить непосредственно, что Xk = Xin-k) ¦ Поэтому

п 2п п

^+I=U(X-Xk) П (X-Xk) = E(X-Xk)(X-Xk) = A = I A = rt+1 A = I

= П (X2 - (Xk +xk)x + XkXk) = П (х2 - 2х cos (2*~1)я- + l) .

§ 2. Производная

1. Определение производной и формулы для ее вычисления.

Введем понятие производной от полинома f(x)^K[x]. Для полиномов над любым полем обычное понятие производной как предела отношения приращений, не работает, ибо понятие предела, например, для конечных полей не имеет смысла. Определим производную формально. Именно, производной от полинома

f(x)= а0хп + axxn~l + ... + ап-\х+ап называется полином

Г (х) = naQxn~l + .(/і — 1) аххп~2 + ... + ап-и

176

ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ

[ГЛ. VI

Производная обладает следующими свойствами.

1. (с)' = 0, с —константа.

2. {х~с)' = 1.

з- (/, + /2)' = fi + fr

4. (CfY = Cf'.

Эти свойства непосредственно следуют из определения. Это свойство докажем в три приема.

a) f, = ахт, /2 = bxk, так что Z1Z2 = аЪхт+к. Тогда (Z1Z2)' = (щ -f к) аЬхт+к-1 = mabxm+k-1 + kabxm+k~l =

= (max'"-1) Ьхк -f ахт (кЬхк~х) = f'J2 + fj2.

b) fi = імхт + O1J:"-1 + ... +am, f2 = bxk. Здесь fif2 = =а0хт-Ьхк -f axxm-x-bxk + ... +am-ftxfe. В силу свойств 3, 4 и случая а)

</,f2)'= (a0xm)'bxk + «^(од;*)' + (?ix"-1)'^ +

+ a ^-1 (&**)' + ... +(am)'bxk + am(bxk)'. Объединяя нечетные и четные слагаемые, получим (f J2)' = f[f2 + + fjr

c) fi = а0хт + U1X"1-1 + ... + ат, /2 = b0xk + ft,**"1 + ...+&*. Тогда /if2 = f\boXk + f\b\xk~l + ... + f\bk и, в силу свойств 3, 4 и случая Ь),

{ьи)=(v*y+/rV*-1+/. ¦)'+• • •+/?+/.*;=

б- (/V2 •.-7*У-Kh h + иГг... f,+ -.. + fJ2... г*.

Доказывается индукцией по к, на основании свойства 5.

7. (f*)'=

Следует из свойства 6, достаточно положить fx = f2 = ... ... =f* = f.

8. ((jc — c)fe)' = ife(je — c)*-1.

Производная от производной называется второй производной, производная от второй производной называется третьей производной и т. д. Легко убедиться в том, что k-я производная от m-й производной равна (k-\-m)-H производной исходного полинома.

2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. Пусть Z = Go*" + ai*n_I + ... -4- ап є k [х] и х — с — данный линейный двучлен.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed