Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Выясним теперь, какой элемент из Sn-k квазиравен внешнему произведению gi А ... Л gj є St линейно независимых векторов gi, ..., gk- С этой целью выберем в подпространстве Р, натянутом на gi, ..., gk, ортонормальный базис fi, fk, причем так, чтобы ориентации системы векторов g}, ..., gk и fi.....fk были одинаковы. Тогда gi Л ... Agk = Vfi А ... Afк, где V — объем парал-lelepjpeda, natynutogo na gi, gk- Дополним /ь fh до орто-нормального базиса fi, fk, fk+i.....fn пространства Si, имеющего одинаковую ориентацию с исходным базисом ех, ..., еп. Тогда, в силу сказанного выше,
gi Л ... Agk « Vfk+i А ... Afn.
Векторы fk+i, .... fn составляют базис ортогонального дополнения P1 к подпространству Р. Если в этом пространстве взять любую систему векторов hk+i, ..., hn, имеющих одинаковую ориентацию с fk+u ¦ ¦., fп и с объемом параллелепипеда V, то gi Л ... ... Agk ж hk+i А ... Ahn. Итак, если векторы hk+i, ..., Tin ортогональны векторам gi, gk, объемы параллелепипедов, натянутых на gi, gk и hh+i, hn, одинаковы и ориентация системы векторов gi, gk, hk+i, hn совпадает с ориентацией исходного базиса еи ...^en, то gi Л ... Agk^hk+iA ... Ahn.
Рассмотрим случай = 3 и & = 2. В этом случае gi Л g2 Аз, где Лз —ортогональный к gi и g2 вектор, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на gi, g2, и ориентация g\, g2, /із совпадает с ориентацией исходного базиса. Таким образом, вектор h3, квазиравный бивектору gi Ag2 (при л = 3), есть не что иное, как векторное произведение [gi, g2].
Заметим, что квазиравенство gi Л ... AgA«/i*+i Л ... Ahn равносильно равенству компонент этих поливекторов по отношению к базисам {ег} и {(— l)Inv<r-r'>er'} при Г" = ЛГ\Г. Это равенство может быть сформулировано как равенство миноров k-ro порядка, составленных из первых k столбцов матрицы координат
векторов gi.....gk, hk+i.....hn, их алгебраическим дополнениям.
Формальная проверка таких соотношений не совсем тривиальна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства. — М.« Изд-во МГУ, 1982.
Боревич 3. И. Определители и матрицы. — M.: Наука, 1970.
Ван дер В а р д е н Б. Л. Алгебра. — M.: Наука, 1979.
Гельфанд и. м. Лекции по линейной алгебре. — М.і Наука, 1971.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — M.: Наука, 1977.
Кострикин А. И. и Мании Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. —>
M.: Изд-во МГУ, 1980.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры.— M.: Наука, 1975. Ленг С. Алгебра. —M.: Мир, 1968.
Мальцев А. И. Оосновы линейной алгебры. — M.: Наука, 1975.
Фаддеев Д. К. иСоминский И. С. Сборник задач по высшей ал»
гебре. — M.: Наука, 1977.
