Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
ф + / sin
ft+ 1
2
Ф
) 2t sin Sf
2i sin Y
. «Ф
2 ( п +1 . . . п -f - —— (cos-f-ф+ і sin _f
ф).
откуда
«Ф . (« + і) ф
«зі
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
39
В качестве «бесплатного приложения» мы получили сумму
sin __ cos \
¦ ф sinT
Аналогичным образом могут быть преобразованы, суммы вида oi cos Ь\ -f- O2COS &2 + ••• +?ncosftn и ui sin Ь\ + O2 sin b2 + ... ... -f-ansin&„, если аргументы bi, Ь2, Ьп тригонометрических функций образуют арифметическую прогрессию, а коэффициенты ai, а2, ..., ап — геометрическую. Разумеется, рассмотренные примеры не исчерпывают возможности применений формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
§ 3. Извлечение корня из комплексного числа
1. Вывод формулы извлечения корня. Пусть п — натуральное число. Извлечь корень с показателем п из комплексного числа а — это значит найти комплексное число (или числа) ? так, что ?" = а. Каждое число ? такое, что ?" = а, называется корнем п-й степени
п
из а и обозначается Vа-
п
Ясно, что если а = О, то единственным значением Vа является число 0, поэтому сосредоточим внимание на случае а Ф 0. Запишем а в тригонометрической форме a = r(cos ф + і sin tp) и будем искать ? тоже в тригонометрической записи:
? = /?(cos9 + tsin0).
Равенство ?" = а запишется в виде
Rn(cos nQ -f- і sin лЭ) = r (cos ф + і sin ф).
Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам:
Rn = г, л0 = ф + 2kn, fteZ.
Данное число г положительно (ибо а ф O) и искомое число R должно быть тоже положительным. Известно, что для любого положительного числа существует единственное положительное значение корня л-й степени, называемое арифметическим значением ,корня, и это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем. Итак, R = гх/п. Аргумент же 0 находится просто Делением:
Q _ ф + Ч-Ы
40
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1ГЛ II
Таким образом, корни п-н степени из комплексного числа а существуют, и все они даются формулой
?k = r"*(w>s -i-jj--H sin-*—^—j (1)
при любом k о Z (мы ставим индекс ? при ? для того, чтобы под-
п
черкнуть многозначность и зависимость его значений от параметра к, могущего принимать все целые значения).
2. Исследование формулы извлечения корня.
Теорема 1. Существует ровно п значений корня п-й степени из отличного от нуля комплексного числа a = r(cos(p + isincp). Их дает формула
Vа ~ Mn ( Ч> + 2kn . . . ф + 2kn \ а = г1'" (cos -2—^--\-1 sin -2-і--J
в предположении, что k пробегает какую-либо полную систему вычетов по модулю п, например, ? = О, п—~\.
Доказательство. Мы уже видели, что значения корня л-й степени из ос даТотся формулой (1). Покажем, что ?fc, = ?fc2 в том и только в том случае, когда k\ == k2 (mod п). Действительно,
Pb= Рь---=----Ь Ш
при целом t (аргументы равных чисел равны или отличаются на целые кратные 2я; о модулях заботиться не нужно — они одинаковы у всех чисел ?fe). Это равенство, в свок}. очередь, равносильно
¦k] ~ кг =t, т. е. ki S= ?2(mod л). Итак, действительно, ?^n?«,
в том и только в том случае, если ?i = ?2(mod л); и, следовательно, мы получим все различные значения для ?A, если k пробежит значения по одному из каждого класса по модулю л, т. е. некоторую полную систему вычетов.
Пример. Найти ^2 + 2/ (один из немногих «хорошо подтасованных» численных примеров).
Имеем 2 + 2І = V§(cos 45° -f- і sin 45°). Согласно формуле
^2 + ? = (V8)"3 (cos 45°+3fe-360° + і sin 45° + 3fe-360°) =
= д/2 (cos (15° + k • 120°) + і sin (15° + k • 120°)). Для k достаточно взять значения 0, 1, 2. Получим три значения:
?0 = д/2 (cos 15° + / sin 15°),
?, = ф, (cos 135° + * sin 135°),
?2 = V2 (cos 255° + і sin 255°).
§3]
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
41
Учитывая, что cos 45° = sin 45° = 1/д/2. получим ?i = —1 + L Для вычисления ?o и ?2 заметим, что 15° = 45° — 30°, так что
cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = -щ {^- + ,
sin 15° = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° = ~ (^- - -^) ¦ Поэтому
_ Уз + і Уз - і
Po— 2 2 '
Уз-і, ,. Уз - і
P2=--2--1-2-•
В заключение отметим, что среди п значений корня п-й степени из комплексного числа нет оснований, вообще говоря, предпочитать какое-либо одно значение остальным. Понятие «арифметического значения» при извлечении корня из комплексного числа не вводится и его невозможно ввести каким-либо естественным способом,
Легко проследить, что упоминавшееся_ выше «противоречие» — l = j2 = y — Ід/—1 = У( — 1)( — 1) = д/1 = 1 имеет своим источником путаницу в выборе значений квадратных корней. Дело в том, что в применении к комплексным числам формула У а У ? = = ya? верна (при выбранных значениях для У<х и У(ї) лишь при одном выборе значения для Усф> а при другом выборе она ш верна и даже в случае, если a? оказывается_вещественным положительным числом, подходящее значение Va? не обязано быть арифметическим. В рассмотренном примере игра идет на равенствах: У—1 -\/~\ = — 1 и У — 1 -\/ — 1 = 1. Первое из них верно, если в качестве значений для обоих сомножителей взять одинаковые значения У — 1 (т. е. /, і или —і, —і), второе верно, если взять различные значения (т. е. і, —і или —і, і).
