Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 2. Пусть а и ? — данные комплексные числа, причем афО. Тогда существует одно и только одно комплексное число X такое, что ах = ?, именно, х = a-'?.
Доказательство. Если x = a_I?, то ах = aa_1? = ?. Если 'lux = ?, то a_1ax = a_1?, x = a_I?, что и требовалось доказать.
Число a-,? есть, таким образом, частное от деления ? на а.
Частное обычно записывается в форме дроби Ясно, что если
|tx = ?, то при любом уфО будет vax = ??, откуда х— -^-, та-
|им образом, числитель и знаменатель дроби можно умножать на Одно и то же число, отличное от 0.
a
Удобно фактически вычислять частное -^-, умножая числитель
? ?«
)и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем: — — ,
Так как асе есть вещественное число. Например,
1 + 3/ (1 + 3Q (1 - Q _ 4+ 21 _ i+i e (1+/)(1-0 2 —z_r"''
Конечно, этот способ равносилен представлению числа а-1 в виде -^-й, указанном выше для a = a + 6i.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексного числа
1. Геометрическое изображение. Комплексное число a = а + + Ы естественно изобразить точкой на плоскости, приняв числа <а и Ь за координаты точки, изображающей число а. При этом каждому комплексному числу соответствует точка и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Вещественные числа изображаются точками с равными нулю ординатами, т. е. точками, лежащими на оси абсцисс. На оси ординат располагаются изображения «чисто мнимых» чисел Ы. Началу координат соответствует число 0.
.. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, нарывается плоскостью комплексной переменной. Ее ось абсцисс называется вещественной осью, ось ординат — мнимой осью В COOT-
32
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. II
ветствии с наименованиями чисел, изображения которых лежат на этих осях.
Наряду с изображением комплексных чисел точками на плоскости удобно с каждым комплексным числом связывать вектор, исходящий из начала координат в точку, изображающую это число (т. е. радиус-вектор этой точки). Компоненты а и Ъ комплексного числа a -f- Ы являются, очевидно, проекциями (алгебраическими, с учетом знаков) этого вектора на оси координат. Как известно, проекция суммы векторов (в смысле векторного сложения) на любую ось равна сумме проекций слагаемых. Поэтому сумма векторов, изображающих комплексные числа а и ?, есть вектор, изображающий сумму а + ? этих чисел, так как компоненты числа а -f- ? равны суммам соответствующих компонент слагаемых (рис. 1).
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Введем в рассмотрение полярные координаты точки, изображающей комплексное число а, принимая начало координат за полюс и вещественную ось за полярную ось (рис. 2). Как известно, полярными координатами точки являются длина ее радиус-вектора, равная расстоянию от точки до полюса, и величина ее полярного угла, образованного положительным направлением полярной оси и радиус-вектором рассматриваемой точки. Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число а, называется модулем этого числа и обозначается ]а|. Ясно, что |а|^0, причем |а| = 0 только, если а = 0. Величина полярного угла точки, изображающей комплексное число а, называется аргументом этого числа и обозначается arg а. Заметим, что arg а имеет смысл лишь при а#0, аргумент числа 0 Рис. 2. смысла не имеет.
Положительным направлением отсчета аргумента комплексного числа считается направление от положительной полуоси вещественной оси к положительной полуоси мнимой оси, т. е. против часовой стрелки при обычном расположении осей.
Аргумент комплексного числа определен не однозначно, так как угол между двумя направлениями (даже если выбрано положительное направление отсчета) можно отсчитывать многими способами. Уточним характер многозначности аргумента. Пусть (р0 — наименьшее значение аргумента, отсчитанное в положительном направлении. Сделав при отсчете несколько полных оборотов в положительном направлении, мы придем к значению аргумента фо + -\-к-2я, где k — число полных оборотов, т. е. целое неотрицательное число. Простейший отсчет в отрицательном направлении дает,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
33
очевидно, значение аргумента —(2я— фо) = Фо— 2я (рис. 3). Если же сделать еще s полных оборотов в отрицательном направлении, мы придем к значению ф0 — (s -f- I)2л, s ^ 0. Тем самым все возможные значения аргумента даются формулой: ф = фо + 2&я, где k — любое целое число, положительное, отрицательное или 0. Таким образом, данному комплексному числу, не равному 0, можно соотнести в качестве аргумента бесконечное множество чисел, правда, очень просто связанных между собой, именно, любые два значения аргумента отличаются на целое кратное 2л.
Разумеется, многозначности аргумента можно было бы избежать, наложив на аргумент какие-либо требования, выделяющие одно значение из всех возможных, например, 0 ф <С 2я или —я < ф ^ я. Однако это оказывается неудобным, особенно при изучении функций от комплексной переменной. Пусть, например, комплексное число x + yi изменяется так, что его изображение описывает в положительном направлении окружность с центром в начале координат, начиная, например, с точки і и возвращаясь в ту же точку (рис. 4). Если бы мы наложили ограничения на аргумент: 0 ф < 2л, нам пришлось бы считать, что при подходе к точке 1 аргумент скачком переходит от значений, сколь угодно близких к 2л, к значению 0, и это неестественно. Естественно считать, что аргумент изменяется непрерывно, но когда х + yi возвращается в исходную точку, его аргумент получает приращение, равное 2л.
