Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 22

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 168 >> Следующая


ПРОСТЕЙШИЕ

ГЛАВА III СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ

ПОЛИНОМОВ

§ 1. Полиномы от одной буквы

1. Определение. В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы X называется алгебраическое выражение вида ахт, где а — 'некоторое число, X — буква, т — целое неотрицательное число. Одночлен ах° отождествляется с числом а, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели при букве х одинаковы. Подобные одночлены складываются по правилу ахт + bxm = (а + Ъ)хт, называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме а0хп -f- Сі*"-1 + ... + ап, с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей.

Буква X обычно обозначает произвольное число. Иногда л: считается переменной, тогда полином задает функцию от х, называемую целой рациональной функцией.

Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полиномы равны тождественно, т. е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы х. Верно и обратное утверждение: если два полинома равны тождественно, то они равны формально — но это совсем не очевидно и требует доказательства, которое будет дано в п. 7.

Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы несколько расширить понятие полинома. Пусть А — некоторое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть х — буква, посторонняя для кольца А. Одночленом от буквы х с коэффициентом из А называется выражение ахт, где оєД т — целое неотрицательное число. Считается, что ах° = а, так что элементы кольца А являются одночленами частного вида. Выражение ахт рассматривается формально — как «картинка», изображенная на бумаге. Для одночленов естественным образом определяются действие приведения подобных членов ахт + bxm = (а + Ъ)хт и действия умножения axm-bxk = abxm+k, «Картинка», состоящая из нескольких

54

ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ

(ГЛ III

одночленов, соединенных знаком +, называется многочленом или полиномом от X с коэффициентами из А. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считать полином записанным в канонической форме а0х" + а\х"~1 + ... ... + ап (т. е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания Степеней C0 + Cix + ... + спхп.

Дадим теперь естественные определения равенства полиномов и основных действий над ними.

1. Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т. е.

а0хп + U1X"-1 + ... + ап = b0xn + M"-1 + ... +Ьп

в том и только в том случае, если а,• = bi, і = 0, 1, п (снова «формальное» равенство).

2. Суммой двух полиномов называется полином, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые.

Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом,

(а0хп+аіхп-1+ ... +ап) + (b0xn + Ь їх"-1+ ... +&") =

= (00 + 00)^ + (01 + ^1)^-1+ ••• +(ап + Ьп).

3. Произведением двух полиномов называется полином, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго.

Здесь снова возможно приведение подобных членов. Таким образом,

(аох^+аїх"-1+ ... + ап) (b0xm + blXm-1 + ... + 6m) =

¦ = a0b0xn+m +(aobi + аф0)хп+т-1 + ... + афт.

Коэффициент при хп+т~к равен афк + афк-і + ... + akb0, если условиться считать, что а,- == 0 при і > п и ft, = 0 при / > т.

Множество полиномов от буквы X с коэффициентами из кольца А составляет; как легко проверить, кольцо по отношению к определённым выше действиям сложения и умножения. Кольцо это коммутативно и ассоциативно. Оно называется кольцом полиномов от буквы X над кольцом А и обозначается А [х]. Роль нуля в этом кольце играет нулевой полином, т. е. нуль кольца А, рассматриваемый как полином, не содержащий одночленов с ненулевыми коэффициентами. Роль единицы играет единица кольца А.

В данном выше определении одночлена и полинома имеется одно сомнительное место. Именно, было сказано, что х есть буква, посторонняя для кольца А, и не было объяснено, что это значит. Сказать, что х не принадлежит кольцу Л —это сказать слишком

полиномы OT ОДНОЙ БУКВЫ

55

мало, так как при этом не исключаются нежелательные возмож-

1 _ X

ности je2 е А или . , v є Л и т. д. Однако мы в состоянии изба-

виться от «сомнительной» буквы X подобно тому, как избавились от символа і в обосновании комплексных чисел. Обратим внимание на те действия над коэффициентами полиномов, которые должны выполняться при действиях над самими полиномами. Опишем эти действия, исходя из расположения полиномов по возрастающим степеням буквы. Именно, вместо полиномов рассмотрим бесконечные последовательности (а0, а\, ак, ...) элементов кольца А, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed