Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании е = 2,71828... была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:
J T+h?"dx = arctsх + с-
В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене х на xi.
50
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ir Л. II
Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.
У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием е, именно,
ea+bi = еа (cos Ъ + і sin b).
Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.
Известно, что при вещественном X имеет место предельное соотношение: ех = Hm (I + -—) . В правой части находится много-
член, имеющий смысл и при комплексных значениях для х. Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность Cn = ап -f- Ъ пі считается сходящейся, если сходятся последовательности ап и Ьп вещественных и мнимых частей и принимается Hm Cn = Hm а„+.г Hm Ьп.
л-^оо гс->оо Л->оо
Найдем Hm (1 + а \ Ы V. Для этого обратимся к тригономе-
трической форме 1 + ~ + — * = г„ (cos ф„ + і sin ф„), причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка —я < ф„ ^ я. При таком выборе ясно, что фл-*-0, ибо 1 + Tf + Tf1-*"'" Далее,
Теперь
а
1 + п Ъ
С08ф„=-—5-, 8ІПф„ = — .
' п п
(1 + т + т 0"=r« (cos щ«+'sin Пф«)-
Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для г? и лфге и найти эти пределы. Ясно, что гл-*-1 и
" V 1 п 1 п2 J
/2а а'+Ь» \ ji Ч га re2 J2
0 + ?+ЭД"
2a g'+ft'
Далее, «ф„ = п sin Фл . -??- = і- . ^ - fr.
«5]
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
51
Итак, в выражении
(1 + X + *)" = С cos пФл + fr» sin щп
вещественная часть стремится к eacosb, мнимая — к easinb, так что
lim (1 + — + — і)" = еа (cos b + і sin b).
Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.
Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:
eai+W . еа,+ЬЛ — ет (COs _|_ I sin еаг (C0S ?2 _|_ / sin Jj^ _
= e«t+o2 (cos (o, _}_ o2) + і sin (o, + o2)) == еяі+вгнь.+мг-
2. Формулы Эйлера. Положим в определении показательной функции а = 0. Получим:
cos b + і sin o = e6''. Заменив o на —b, получим
cos b — іsin b = e~bi.
Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы
9б' + е-б< . ем _.е-»' coso=-+2-, sin о=-Yi-•
носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.
3. Натуральный логарифм комплексного числа. Комплексное число, заданное в тригонометрической форме a = r(cos ф + / sin ф), можно записать в форме re*'. Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, a—rei<p—e\nre<pi=einг+ф(_ Поэтому естественно считать, что Ina = = 1пг-г-ф(, так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью — его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента — аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
Введенная таким образом логарифмическая функция определена для всех комплексных чисел, за исключением нуля. Необходимо только помнить, что логарифмическая функция многозначна, в силу многозначности аргумента. Однозначность можно было бы установить, например, выбирая ветвь логарифма, для которой —л < ф ^ я, но это приводит к ряду неудобств. В частности, свойство логарифма — логарифм произведения равен сумме логариф-
52
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[гл. II
мов сомножителей — верно лишь с учетом многозначности. Так, например, один из значений In 1 является 0, одним из значений ln(—1) является пі, ибо —1 = cosn-f- isinrc = е"!. Однако In ? (—1)>(—1)] = пі + яг = 2яг. Это одно из значений логарифма 1 (ибо 1 = cos2fert-f- isin2fert), но отличное от 0.
4. Показательная функция с произвольным основанием. Пусть а — комплексное число, отличное от нуля. Тогда а = е1п а при любом значении In а. Поэтому естественно считать по определению ар = ер 1,1 а. Это снова многозначная функция от а и ?, в силу многозначности Ina, который определен с точностью до слагаемого
2kni. Посмотрим, например, чему равно Так как In / = /(точ-
ным — все значения «очень мнимого» выражения і' вещественны.
+ 2knj .і1 = е
. Результат кажется несколько парадоксаль-
