Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 27

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 168 >> Следующая


ее

ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ

ігл. iii

Итак,

у . д/К (cos U^2L + іSin JL+2*?) +

+ д/Z (cos JLi^L - / sin -2^5-) = 2 cos .?+»« ,

где ? — 0, 1,2.

Все три корня оказываются действительными и, как нетрудно видеть, попарно различными. Интересно отметить, что в этом, казалось бы, самом лучшем (в смысле действительности корней) случае комплексные числа появляются по существу, и это было одним из стимулов введения комплексных чисел в математику.

Рассмотрим еще примеры.

Пример 3. у3— 9у + 8 = 0. Здесь имеется бросающийся в глаза корень у== 1. Посмотрим, что дает формула Кардано

у шт V-4 + л/16 - 27 + V-4 - У"16 - 27 =

= Л?'-4 + і л/П + лТ—4 - г VTT.

Ничего похожего на число 1 мы не видим. Однако если знать,

что — 4 + I Vl 1 = (~~Нг~) (° чем нетрудно догадаться, заранее зная, что исходное уравнение имеет корень 1), то получим

і - і VTT . i + « ViT ,

l - і VH , i + i VTT і . Узз

і - і VTT . і + і VTi і V33

В случае, когда все три корня вещественны, можно доказать, что при алгебраическом решении уравнения третьей степени извлечение кубического корня из комплексного числа неизбежно.

Однако и в первом случае, когда нет необходимости в действии извлечения кубического корня из комплексного числа, как правило, «хорошие» корни, если они есть, формула Кардано преподносит «под маской». Благополучный пример, типа приведенного выше примера 2, является исключением.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4. jc3 + Зх — 4 = 0. Здесь снова «светится» корень *= 1. Формула Кардано дает:

*=«V2 + V^TT+ ^2 - д/4+T —ЛУ2 + V5 + ^2 - V5.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

67

Правда, и здесь можно «снять м_аску», если знать, что 2 + -у/5 =*

— ( 1 "^2^5 ) и ^ — л/5=(-—^~~) • Если принять это во внимание, получим

*i =-^-+-^- л/5 +Tf- у л/5 = !.

^+т^Ь-Кт-т^-.---*-^-

3. Решение уравнений четвертой степени. Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари.

При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой.

' Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен Ax2 + Bx + С был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант В2 — AAC равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть Ax2 -f-+ Bx + С = (kx + I)2. Тогда A=k2, B = 2kl, C=I2 и В2 — 4ЛС=0.

Достаточность. Пусть В2 — 4AC = 0. Тогда-Лх2 + Bx + С =

Ґ IT , в Y_i_/~ ?2 Ґ гт і В Y . 4ЛС-В3



=(v^+4r)!-

Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения х* + ахъ + Ьх2 + сх-\- d = 0 в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде:

-('¦+т*+*)Ч(т+»-0*+(*-')*+(*-<0]-

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и достаточно выполнения условия

68 ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. Hl

Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду

z/3 — by2 + (ас — Ad) у — (с2 + a?d — Abd) = 0.

Пусть у\ — один из корней этого уравнения. Тогда при у — yi условие будет выполнено, так что имеет место

(—+у* - b) х% + Gir - с)х + (4 - d) = <А* + &

при некоторых k и /. Исходное уравнение пр.имет вид + * +Jg-)2 + = О,

или

(х2 + \ X + -?- + kx + I) (х2 + Ц-X + Ц- - kx -1) = 0.

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения.

Сделаем еще одно замечание. Пусть х\ и х%— корни первого

сомножителя, Xz и Xi — корни второго. Тогда X1X2 = -у- + /, X3X4==

= -^г—/.Сложив эти равенства, получим, что у\ = хіХг + х3х4.

Таким образом, мы получили выражение корня у\ вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Пример. Решить уравнение х4 + 2х3— 6х2 — 5х + 2 = 0.

Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часты

X4 + 2х3 — 6х2 — 5х + 2 =

= (х2 + X + -|-)2 - ух2 - X2 - ху - SL _ бх2 - 5х + 2 =

= (x2+x + ^)2-[(y + 7)x2 + (t/ + 5)x+(^--2)].

Теперь положим (у + 5)2 — 4 (у + 7) (-^---2) = 0. После пре-*

образований получим уравнение

г/3 +6(/2 — 18г/ — 81 = 0.

Легко видеть, что одним из корней этого уравнения является число ух = —3. Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим:

*4 + 2х3 - 6х2 - 5х + 2 = (х2 + X -|)2- [4х2 + 2х + |] =

«= + X - 4)2 - (2х + I)2 = (х-' + Зх - 1)(х2 - X - 2).

полиномы OT НЕСКОЛЬКИХ БУКВ

69

Приравнивая сомножители нулю, получим

_ — з + УТэ _ — з - УГз _ _ .

X1 — 2" • х2 — 2 ' Х3 — ' Х4 —
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed