Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
j 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. Пусть осі = ri(cos (pi + і sin фі) и Oc2 = r2(cos ф2 + і sin ф2). Тогда
a,la2=rlr2 (cos ф! cos ф2—sin ф] sin ф2+і (sin щ cos ф2+соэ ф[ sin ф2)) =
= Г[Г2 (COS (фі + ф2) + і 5ІГк(ф, + ф2)).
Таким образом, aja2 легко преобразуется к тригонометрической записи числа, модуль которого равен пг2 и аргумент равен фі + ф2. Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей и аргумент произведения (точнее, одно из значений аргумента) равен сумме аргументов сомножителей. В буквенной записи
I ctia21 = 1 Cx11 - і Cx21, arg (Ct1Ct2) = arg а, + arg Ct2.
Эти правила распространяются на произведение любого числа сомножителей. Именно,
I Ct1Ct2 ... ak I = I Oi I • I Ct2 I ... I ak \,
arg(Ct1Ct2 ... ak) = arg Ct1 + arg Ct2 + ... + argak.
Действительно, эти формулы верны для k = 2. Допустив, что они верны для произведения из k — 1 сомножителей, мы получим
I Ct1Ct2 ... ak I = IO11 • і Ct2 ... ak | == | Ct11 • | Ct21 ... | ak |,
arg (GtJa2 ... ctft) =
= arga1 + arg(a2 ... a4) = arga1+arga2+ ... + argafe.
В обеих цепочках равенств последний переход обеспечивается индуктивным предположением.
6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. Положим в формуле
П (COS ф! + І Sin фі)Г2(С05ф2 + І sin ф2) ... T j. (COS ф? + t Sin ф&) =
= Г\П ... Ta(COS (фі + ф2+ . .. + ф*)+ І Sill (фі +ф2 + . . . + фА)),
что все сомножители равны, так что r\ = r2 = ... = rk = г, ф( — = ф2 = ... = ф/; = ф. Получим
(г (cos ф + і sin ф))k — rk (cos kq> + і sin k<p). При r = 1 получается знаменитая формула Муавра: (cos ф + / sin ф)к = cos Щ + і sin k<f.
§2]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
37
Мы вывели эту формулу в предположении, что k — целое положительное число. Покажем, что она остается верной и при k = 0 и при целом отрицательном k, считая для комплексных чисел, так
же как для вещественных, а° = 1 и а~т = -^п • При A = O формула превращается в верное равенство:
(cos (р + і sin ф)'° = cos 0 -f- і sin 0 = 1.
Положим теперь k = —т, считая т целым положительным. Тогда
(cos ф + і sin ф)& = (cos ф + і sin ф)~т =--—г=- =
1 cos тш — і sin тш , . , . . , .
=-г-т—:-=---1—і—. о ' = cos (—т) ф+г sin (—т) т =
cos тф +1 sin m<p cos^ra <p + sin* тф v ^ ' 4
= cos kq> + г sin k<p.
Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях k.
7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Выразить tg5ф через tgф.
Имеем соотношение cos 5ф -f і sin 5ф = (cos ф -4- і sin ф)5. Применив бином Ньютона, получим
cos 5ф + і sin 5ф = cos5 ф -f- Ы cos4 ф sin ф — 10 cos3 ф sin2 ф —
— 1Oi cos2 ф sin3 ф + 5 cos ф sin4 ф -4- і sin5 ф
(пользуемся тем, что /2 = —1, i3 = —/, і4=1, і5 = і). Приравнивая компоненты, получим
cos 5ф = cos5 ф — 10 cos3 ф sin2 ф + 5 cos ф sin4 ф,
sin 5ф = 5 cos4 ф sin ф — 10 cos2 ф sin3 ф + sin5 ф,
откуда
j. - _ 5 cos4 ф sin ф — 10 cos2 ф sin3 ф + sin5 ф _ 5tg ф — 10 tg3 ф + tg5 ф
° ^ cos5 ф—10 cos3 ф sin2 ф-(-5 cos ф sin4 ф 1 — 10 tg2 ф + 5 tg4 ф '
(Мы поделили числитель и знаменатель на соэ5ф.)
Ясно, что подобным образом можно выражать тригонометрические функции кратного аргумента через тригонометрические функции исходного.
Пример 2. Выразить зіп5ф линейно через тригонометрические функции кратных аргументов.
Положим ос = cos ф -f- і sin ф, тогда a-1 = cos ф — isinq, ak = = cos k(p + і sin ?ф, a_fe = cosfop— isinky, откуда
СОЭф=---, МПф=---, СОЭЙф=-^-, SIn &ф==
2t
38
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. Il
Воспользуемся этими формулами:
,П 2Г—J =-327
Za-K-1V а5 — 5а3 + IQa — IQg-1 + 5а~а — а~ь
(a5—a-5)—5 (а3—а~3)+10 (а-д-1) 32/
2t sin 5<р— IQi sin 3<p+20t sin q> _ sin 5ф — 5 sin Зф + 10 sin <p
Аналогично, любое выражение вида cosA q> sinm ф можно представить линейно через тригонометрические функции кратных аргументов.
Пример 3. Преобразовать сумму В = sinф + sin2ф + ...
.. . + Sin Пф.
Введем в рассмотрение другую сумму А = cos ф + cos 2ф + ... ... + cos пф и запишем А + Bi = (cos ф + і sin ф) + (cos 2ф + + І5іп2ф)+ ... +(собпф + isinmp). Мы пришли к сумме геометрической прогрессии. Для дальнейших преобразований полезно
ввести обозначение a == cos -|- + і sin . Тогда
Вынесем теперь в числителе и знаменателе такие степени а, чтобы в скобках оставались разности степеней с противоположными показателями (для возможности этого мы ввели сокращенное обозначение для cos ~ + і sin у, а не для cos ф + і sin ф, что, казалось бы, естественнее):
A + Bi = а2 + а4+ ... +а:
а-
г2« + 2 _ „2
А + Bi
дП + 2 {аП _ д-Д) _ дВ+1 (дВ _ д-П)
а (а —а-1) а —а-1
COS
п + 1
2
