Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 10

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 168 >> Следующая


, тех

= sm——. Это разные функции, так чтоданнаягруппа некоммутативна.

Коммутативные группы называются также абелевыми.

Действие в группе обозначается обычно как умножение (мультипликативная запись), иногда как сложение (аддитивная запись). Аддитивная запись применяется только для абелевых групп. Нейтральный элемент при мультипликативной записи обозначается 1, при аддитивной записи 0. Соответственно, обратный к а элемент в мультипликативной записи обозначается а~1, в аддитивной — через —а (и называется противоположным элементом).

2. Кольца и поля. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия — «сложение» и «умножение», сопоставляющие упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Предполагается, что действия "удовлетворяют следующим требованиям:

1. (а + 6) + с = a + (6 -f- с) (ассоциативность сложения).

2. a + b = b + а (коммутативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что а + 0 = а при любом а.

А. Для каждого а существует противоположный —а такой, что а+(-с) = 0.

5. (a + b)c = ас + be;

5'. с (a + b) = са + cb (левая и правая дистрибутивность).

Первые четыре требования обозначают, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения, которая называется аддитивной группой кольца.

Выведем простейшие следствия из поставленных требований.

•2

§3)

некоторые общие ПОНЯТИЯ алгебры

23

Предложение 1. Если о + х = а + у, то х = у.

Действительно, пусть а + х = а + у. Тогда (—а) + (а + х) = (_(—а)+ (а+ у). Воспользовавшись ассоциативностью, получим ((—а) +а) + X = ((—а) +а) + у, 0 + jc = 0 + j/, и, следовательно, ^ = J/.

Предложение 2. Яры данных а и b уравнение а-\-х = b имеет единственное решение (—а) + &.

Действительно, если а + х = Ь, то (—а) + (а + х) = (—а) + Ь,. 0 + х = (—а) + Ь и х = (—о)+ 6. Обратно, если х = (—а)-\-Ь, то а + х = а + ( (—а) + b) = 0 + Ь = Ь.

Из предложения 2 следует единственность нуля и противоположного элемента, ибо 0 есть решение уравнения а + х = а, а —а есть решение уравнения о + х = 0.

Предложения 1 и 2 верны для любой абелевой группы, а не только для аддитивной группы кольца.

Предложение 3. о-0 = 0-а = О при любом а.

Действительно, 0-0 = 0-(0 + 0)=0-0 + 0-0, и, в силу предложения 2, а 0 = 0.

В общем определении кольца на действие умножения не накладывается никаких ограничений кроме дистрибутивности со сложением. Однако чаще всего возникает необходимость рассматривать кольца, в которых умножение удовлетворяет тем или другим дополнительным естественным требованиям.

Наиболее употребимыми являются:

6. (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения).

При выполнении этого требования элементы кольца образуют полугруппу относительно умножения.

7. ab = Ьа (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1 (т. е. такого, что 0¦I = I-O = O для любого элемента о).

9. Существование обратного элемента а-1 для любого элемента а, отличного от 0.

В конкретных кольцах эти требования могут выполняться как порознь, так и вместе в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если в нем выполнено условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным, если выполнены условия 6 и 7. Если выполнено условие 8, говорят о кольце с единицей, снабжая слово «кольцо» прилагательным в зависимости от выполнения условий 6 и 7.

Если в кольце есть единица, то она единственна. Действительно, если 1 и 1' — две единицы, то 1•V = 1, так как V — единица, и 1-1'= 1', так как 1 —единица, поэтому 1 = 1'.

Кольцо называется областью целостности, если из равенства ab = 0 следует, что хотя бы один из сомножителей а или b равен 0.

Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент а имеет

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. t

обратный а-1. Иными словами, поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммутативную группу. Эта группа носит наавание мультипликативной группы поля.

Любое поле есть область целостности. Действительно, если ab = 0 и а Ф 0, то a-1 (ab) = а-'О = 0, и, следовательно, b = 0.

Существуют поля, в которых некоторое целое кратное 1, т. е. /п-1 = 1 + 1+ ••• +1, равно нулю. Наименьшее натуральное

m

число, обладающее этим свойством, называется характеристи~ кой поля. Характеристика поля всегда равна простому числу. Действительно, если т-1 = 0 и m = m\m2 при 1 < Ш\ < т, то (my 1) (т2-1) = 0, откуда Wi-I = O или W2-I=O1 так что т — не наименьшее натуральное. Поле вычетов по простому модулю р имеет, очевидно, характеристику р.

Если же любое кратное единицы отлично от нуля, то говорят, что характеристика поля равна 0.

Приведем теперь примеры. Множество Z всех целых чисел образует кольцо, коммутативное, ассоциативное и с единицей. Оно является областью целостности, но не полем. Полями являются множество Q всех рациональных чисел и множество. R всех вещественных Чисел.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed