Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Свойства корней из 1.
Предложение 3. Произведение двух корней степени п из 1 есть корень степени п из 1.
Доказательство. Пусть а и ? — корни степени п из 1. Это значит, что а" = 1 и ?"=l. Но тогда и (a?)" = a"?" = 1, т. е. a? — тоже корень n-й степени из 1.
Предложение 4. Число, обратное корню степени п из \г есть корень степени п из 1.
Доказательство. Если а" = 1, то (a-1)" = 1.
Эти два предложения означают, что корни степени п из 1 образуют абелеву группу относительно умножения.
Предложение 5. Пусть е — любой первообразный корень степени п из 1. Тогда всякий корень степени п из 1 получается из е возведением в некоторую степень с натуральным показателем.
Доказательство. Пусть е — какой-либо первообразный корень степени п из 1. Тогда при любом целом k число е* будет корнем степени п из 1, ибо (е*)" = (ел)*== 1. Рассмотрим числа 1, е, е2, є"-1. Все они суть корни степени п из 1. Среди них нет равных, ибо если е* = ет при Q ^ k <. m ^ п— 1, то em-ft = 1,
§4]
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
45
что невозможно, ибо т — k есть натуральное число, меньшее п, а е — первообразный корень степени п. Итак, числа 1, е, е2, ...
е"-1 — попарно различные корни л-й степени из 1, и их число равно л, т. е. равно числу всех корней л-й степени из 1. Поэтому
1, е, е2.....е"-1 суть все корни степени л из 1, что и требовалось
доказать.
Заметим, что сопоставление целому числу k корня є* из 1 соотносит одному корню класс чисел по модулю п, и, так как при умножении степеней показатели складываются, сумме классов соответствует произведение корней. Тем самым группа корней п-й степени из 1 изоморфна группе классов вычетов по модулю п относительно сложения.
п _
Предложение 6. Все значения -у/а (а^О) получаются из одного значения посредством умножения на все корни степени п из 1.
Доказательство. Пусть ?o=a и ?re=ct. Тогда (??^1)" = = 1, так что ??^' = e есть корень л-й степени из 1 и ? = ?oe. Обратно, если ? = ?oe и є есть корень степени п из 1, то ?"= ?je"= = ct.
Последнее предложение показывает, что корни степени л из 1 при действии извлечения корня л-й степени из комплексного числа играют такую же роль, как знаки ± при извлечении квадратного корня. Это естественно, так как постановка знаков ± равносильна умножению на ±1, т. е. на корни степени 2 из 1. .-- 5. Алгебраическое вычисление некоторых корней из 1. При нескольких малых показателях корни из 1 легко вычисляются. Ясно, что квадратные корни из -1 суть ±1. Корни 4-й степени равны, очевидно, +1, —1, і, —і.
Для вычисления корней 3-й степени из 1 рассмотрим уравнение Xй—1=0. Разложение левой части на множители дает (х—1) (х2 + X + 1) = 0. Приравнивание к нулю первого множителя дает х=1. Второй множитель порождает корни — -j" ± i-~, являющиеся первообразными кубическими корнями из 1. Сравнение с формулой zk = cos ~- + / sin показывает, что
—2" "г" i~T~= cos 120° + і sin 120°. Сравнение компонент дает хорошо известные из тригонометрии формулы
cos 120° = — cos 60° = — 4-. sin 120° = sin 60° = ^?-.
Разложение на множители многочлена
*б_і = (я _ I)(^+ !) (х2 + х+ 1)(х2 —X+ 1).
46
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. II
показывает, что первообразные корни степени 6 из 1 суть корни
1"±г~^ уравнения х2 — х + 1=0, ибо приравнивание к нулю других множителей дает не первообразные корни.
Рассмотрим п = 5. Уравнение х5—1=0 приводит после разложения на множители к уравнению (х — 1) (х4 + х3 + х2 + х + + 1) = 0. Первообразные корни являются корнями уравнения X4 + X3 + X2 + X + 1 = 0. Оно равносильно уравнению х2 + х~2 + + X + х-1 + 1 = 0. Положив X + х-1 = z и заметив, что х2 + 2 + + х~2 = г2, мы получим следующее уравнение относительно z:
г2 + г— 1 = 0, откуда 2i = —і- + ; гч=^ — \ — ~. Корни из 1 находятся из уравнений х2 — Z1X +1=0 и х2 — 22х +1=0, от-21±гд/4_22 z2±i^A-z\
куда X=-2-их=---. Подставив вместо Z1
и Z2 их значения, получим
Уб — і . У ю + 2 Уб _ Уб - 1 . У ю + гУб
X] — 7 h І-л-• Х2 —-л--'
4 ' - 4 ' ^ 4 " 4
_ Уб - 1 , . Ую-2У5 _ Уб — 1 . Ую-2д/5 X3- j (-« J . X4- 4 г-- .
2&я 2&я
Сопоставление с формулой xk = cos -j=—г sin —g— = cos ? • 72° + + г sin k • 72° дает сравнительно мало известную формулу
4
Из нее легко выводится формула для длины стороны а ю правильного десятиугольника, вписанного в круг радиуса г. Именно,
_.2я _ . я „ /я я \ п 2я аю = 2r sin -JO72- = 2r sin = 2r cos — Jq J = 2r cos — =
2
Из этой формулы следует способ построения стороны правильного десятиугольника циркулем и линейкой (рис. 7), известный еще в глубокой древности и описанный Евклидом.
Разумеется, формулу аю = г -^2-—- легко обосновать без
привлечения задачи о корнях из 1. Именно (рис. 8), равнобедренный треугольник с основанием аю и боковыми сторонами г имеет угол 36° при вершине и, следовательно, углы 72° при основании. Биссектриса одного из этих углов разбивает треугольник снова на два равнобедренных треугольника, так что \OD\ = \BD\ = = ),401 = 010. Из подобия треугольников OAB и BDA получаем
