Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Вводя комплексные числа, необходимо ввести и арифметические действия над ними, по возможности с сохранением обычных правил действий, но с обязательством заменять символ і2 на —1. Постараемся охарактеризовать правила этих действий в терминах компонент, без упоминания о «сомнительном» символе і. Так, если по обычным правилам элементарной алгебры «сложить» два комплексных числа a + bt и c-f-аї, то мы получим комплексное число
ОБОСНОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
27
(а + с) + (b + d)i, и при этом компоненты суммы двух комплексных чисел будут равны суммам соответствующих компонент слагаемых.
Далее, (а + Ы) (с + di) = ас + bei + adt + bdi2 = (ас — bd) + '+(be + ad) і, т. е. первая компонента произведения двух комплексных чисел равна разности произведений первых и вторых компонент, а вторая компонента равна сумме произведений первой компоненты одного из сомножителей на вторую компоненту другого.
Наконец, положив Ь = 0 (и считая, что Ot = O), получим а + Oi = а, т. е. комплексное число с нулевой второй компонентой отождествляется с вещественным числом, именно, с первой компонентой.
Разумеется, все эти соображения имеют лишь наводящий характер—мы сформулировали в терминах компонент правила действий над комплексными числами, как будто мы уже каким-то образом убедились в закономерности введения этих странных математических объектов. Но то, что нам это удалось сделать, естественно наводит на мысль дать само определение комплексных чисел и действий над ними в терминах компонент, т. е. вещественных чисел.
2. Определение комплексных чисел. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам).
I. Пары (а, Ь) и (с, d) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.
В символической записи:
def (а = с
(a, fr) = (c, d)«*|&==d*
II. Суммой пар (а, Ь) и (с, d) называется пара (а + с, b + d), т. е.
(а, Ь) + (с, d) = (a + с, b + d).
III. Произведением пар (а, Ь) и (с, d) называется пара (ас — bd, ad + be), т. е.
def
(a, b)(c,d) = (ac — bd, ad+ be).
IV. Пара (а, 0) отождествляется с вещественным числом а,
def '
т. е. (а, 0) = а.
Таким образом, в данном определении комплексных чисел, составными частями которого являются определения их равенства, вуммы, произведения, нет речи о каком-либо извлечении квадрат-
128
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. IS
ного корня из отрицательных чисел. Все определения формулируются в терминах вещественных чисел и действий над ними.
В первых трех аксиомах речь идет об определении разных понятий. Поэтому их сопоставление не может привести к каким-либо противоречиям. Единственное, чего можно опасаться, это нарушения обычных законов действий, которое априори могло бы произойти. Несколько в другом положении находится аксиома IV. Дело в том, что понятия равенства, суммы и произведения для вещественных чисел имеют определенный смысл, и если бы оказалось, что эти понятия расходятся с теми, которые возникают в силу аксиом I, II, III при рассмотрении вещественных чисел как пар специального вида, то это привело бы к такой путанице (пришлось бы отличать сумму вещественных чисел как таковых, от их суммы как пар, и т. д.), что следовало бы от аксиомы IV отказаться.
Поэтому прежде всего нужно сопоставить аксиому IV с аксиомами I, II, III.
I и IV. Пусть вещественные числа а и Ъ равны, как отождествленные с ними пары (а, 0) и (Ь, 0). Это будет, согласно аксиоме I, в том и только в том случае, когда а = Ь, т. е. если они равны в обычном смысле.
II и IV. Сумма вещественных чисел а и Ь, рассматриваемых как пары (а, 0) и (Ь, 0), равна, согласно аксиоме II, паре (a -{- Ь, 0), отождествленной с числом а + Ь, т. е. с суммой а и Ь в обычном смысле.
III и IV. Произведение вещественных чисел а и Ь, рассматриваемых как пары (а, 0) и (Ь, 0), равно согласно аксиоме III паре (ab— 0-0, аО + Ob) = (ab, 0), отождествленной с числом ас, т. е. с произведением а и Ь в обычном смысле. Таким образом, аксиома IV хорошо согласована с аксиомами I, II, III и не приводит к путанице, которой можно было бы опасаться.
Обратим внимание еще на одну формулу, непосредственно вытекающую из аксиом III, IV, именно,
т(а, Ь) — (та, mb),
если т — какое угодно вещественное число. Действительно, т(а, Ь) = (т, 0) (а, b) = (та — 06, mb + 0а) = (та, mb). Допустим теперь, что т — натуральное число. В силу аксиомы II (а, &) + (а, Ь)==(2а, 2Ь), (2а, 2Ь) + (а, Ь) = (За, Zb) и т. д., так что (та, mb) есть результат последовательного сложения т слагаемых, равных (а, Ь), что хорошо согласуется с привычным представлением о том, что умножение на натуральное число т равносильно сложению т равных слагаемых. Это еще раз свидетельствует о хорошем согласовании аксиом.
3. Свойства действий. Теперь нам нужно проверить, что аксиомы II и III согласованы в себе и друг с другом так, что привычные'нам свойства действий над числами сохраняются при пе-
