Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
ОБОСНОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
29
реходе к комплексным числам. Именно, мы установим, что комплексные числа образуют поле. При описании свойств действий мы будем придерживаться принятой в § 3 гл. I нумерации аксиом кольца и поля, но при проверке будем несколько отступать от последовательности, предписываемой этой нумерацией.
2. (о, b) + {c, d) = (c, d) + (a, b) (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (а + с, b + d), правая равна (с+ a, d + b). Они равны в силу коммутативности сложения ве-Здественных чисел.
' 1. ((о, Ь) + (с, d)) + (e, f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f)) (ассоциативность сложения). Действительно, в силу ассоциативности сложения вещественных чисел правая и левая части равны (а + с + е, Ь + d + f).
3. (о, 6) + (0, 0) = (a, b), так что пара (0, 0) (отождествляемая с вещественным числом 0) играет роль нуля и при сложении пар.
4. (a, b)+(—а, —6) = (0, 0). Поэтому для каждой пары (а, Ь) существует противоположная, именно, (—а, —Ь).
7. (a, Ь) (с, d) = (c, d) (а, Ь) (коммутативность умножения). Действительно, левая часть'равна (ас— bd, ad+ be), правая рав-¦«а (са — db, da + cb). Они равны.
5. ((a, b) + (с, d)) (е, f) = (а, Ь) (е, f) + (с, d) (е, f); 5'. (е, f) ((a, b) + (с, d)) = (е, f) (a, b) + (е, f) (с, d)
(левая и правая дистрибутивность).
В силу коммутативности умножения достаточно проверить первую из формул 5. Левая часть равна
(а + с, b + d)(e, f) = ((a + c)e-(b + d)f, (a + c)f + (Ь + d)e) = ; = (ae + ce — bf — df, af + cf + be + de).
Правая часть равна
\ае — bf, af + be) + (се — df, cf + de) =
= (ae — bf + ce — df, af+ be +cf + de),
т. е. равна левой части.
6. ((a, b)(c, d))(e, f) = (a, b)((c, d)(e, f)) (ассоциативность умножения). Действительно, левая часть равна
(ac — bd, ad+bc)(e, f) = ((ac — bd)e — (ad+bc)f, (ac — bd)f + + (ad + bc)e) = (ace — bde — adf — bef, aef — bdf + ade + bce).
Правая часть равна
\а, b)(ce — df, cf + de) = (a(ce — df)—b(cf + de), b(ce-df) + + a(cf + de)) = (ace — adf — bcf — bde, bee — bdf+aef+ade),
Т. е. правая часть равна левой.
8. (a, 6)(1, O) = (O, b).
Таким образом, пара (1, 0) (отождествляемая с вещественным числом 1) играет роль 1 и при умножении пар,.
зо
комплексные числа
[гл. її
Итак, комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Введем теперь понятие сопряженных комплексных чисел. Пары (а, 6) и (а, —Ь), отличающиеся знаком второй компоненты, называются сопряженными. Умножив сопряженные пары
(a, b) (a, —b) = (aa — b(—b), a(—b) + ba) = (a2 + 62,0)= а2 + б2,
получим, что их произведение равно неотрицательному числу a2 +62, которое равно нулю только если а = 0, b — 0, т. е. если (а, 6) = 0. Если (а, Ь)Ф0, то, умножив сопряженную пару (а, — Ъ)
на вещественное число д2 _|_ , мы получим обратную к паре (а, Ь\
пару, т. е. такую, которая при умножении на (а, Ь) дает число 1. Таким образом, верно:
9. Для любой пары (а, Ь), отличной от 0, существует обратная
(а, б)-1, именно, -r^jr (а, -Ъ) = ( q2 а+ b2 , - д2 ^ fc2 ) .
Итак, мы доказали, что комплексные числа составляют поле.
4. Возвращение к обычной форме записи. Ясно, что (a, b) = = (а, 0) + (0, 6) = (a, 0) + (6, 0)(0, 1) = а + 6і, где буквой і обозначена пара (0, 1). Из аксиомы III следует, что
t2 = (0, 1)(0, 1) = (0-1, 0 + 0) = (-1, 0) = -1.
Таким образом, мы вернулись к обычной записи комплексного числа в виде а + Ы, но «мнимая» единица і получила реальное истолкование как одна из пар, действия над которыми определены аксиомами I, II, III, IV, именно, пара (0, 1). Если угодно, множитель і при вещественном числе Ь можно истолковать как указание на то, что 6 является второй компонентой пары (а, Ь).
Первая компонента комплексного числа а = а + Ы называется вещественной частью этого числа и обозначается Re а, а вторая компонента называется его мнимой частью и обозначается Im се. Подчеркнем, что мнимая часть (так же, как и вещественная часть)' комплексного числа есть число вещественное.
В дальнейшем, говоря о комплексных числах, мы должны помнить, что вещественные числа мы рассматриваем как частный случай комплексных (с нулевой второй компонентой), так что фраза «а есть комплексное число» отнюдь не исключает того, что рс может быть и вещественным.
5. Вычитание и деление комплексных чисел. Действия вычитания и деления определяются как действия^ обратные к действиям сложения и умножения, т. е. вычитание —как действие, восстанавливающее одно из слагаемых по данной сумме и второму слагаемому, а деление — как отыскание одного из сомножителей по данному произведению и второму сомножителю. Их возможность и единственность обосновывается следующими предложениями.
f 2) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
31
Предложение 1. Пусть а и ? — данные комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число х такое, что a + X = ?, именно, х = (—а) + ?.
Доказательство. Имеем а + ((—а)+ ?) = а + (—а) + + ? = ?, так что х = (—a)+? удовлетворяет поставленному требованию. Обратно, если a + x=?, то (—а) + а + х = (—а) + ?, откуда х = (—a) + ?, так что'всякое число, отличное от (—ot) + ?, не удовлетворяет поставленному требованию. Число (—a) -f- ? есть, таким образом, разность чисел ? и а. Она обозначается обычным образом: ? — a.
