Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 11

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 168 >> Следующая


Классы по модулю т образуют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Оно называется кольцом вычетов по модулю т. Если т — составное число, то это кольцо не будет областью целостности^ Действительно, _есл_и т = т\т2, 1 < т\ < т, то тхф0, т2ф0, но M1Vi2 = т — 0- Если же m = р есть простое число, то кольцо вычетов по нему есть не только область целостности, но даже поле. Действительно, предложение 7 § 2 утверждает, что все классы по модулю р, кроме нулевого, обратимы. В частности, кольцо вычетов_ по модулю 2, состоящее всего-навсего из двух элементов 0 и 1 (классы четных и нечетных чисел), является полем. Это поле, несмотря на свою крайнюю простоту, оказывается важным для некоторых приложений.

Все правила и формулы элементарной алгебры, включая теорию уравнений, полностью сохраняются, если под буквами понимать элементы любого поля, так как в основе этих правил и формул лежат свойства действий и возможность деления, кроме деления на нуль.

Пример. Решить уравнение 2х2 + Бх + 4 = O в поле вычетов по модулю 11.

Применим обычную формулу решения квадратного уравненияа

X= —5±V52-4-2-4"_ — 5± V — 7 __ 6 ± V* _ 6 ± 2 2-2 ~~~ 4 4 4 '

т. е. X = 2 или X = 1.

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ

25

В этом примере квадратный корень благополучно извлекся. Могло бы случиться и так, что элемент, находящийся под знаком квадратного корня, не является квадратом какого-либо элемента поля. Это означало бы, что данное квадратное уравнение не имеет ісорней в исходном поле.

3. Изоморфизм. Часто оказывается, что группы, возникающие в различных областях математики или ее приложений, оказываются совершенно одинаковыми по своим свойствам, хотя элементы, из которых они составлены, различны но своей природе. Это явление носит название изоморфизма групп.

Дадим точное определение. Взаимно однозначное отображение группы Gi на группу G2 называется изоморфизмом, если образом результата групповой операции над двумя элементами из Gi является результат применения групповой операции в G2 над образами исходных элементов.

В символьной записи, если отображение обозначено через ф, нужно (кроме взаимной однозначности), чтобы ф(аіа2) = = ф(аі)ф(а2) (мы прибегаем к мультипликативной записи группового действия). Группы называются изоморфными, если для них существует изоморфное отображение. Например, группа классов по модулю 2 относительно сложения изоморфна группе, элементами которой служат числа ±1, а операцией — обычное умножение. Изоморфизм дается сопоставлением классу четных чисел числа 1, а классу нечетных чисел — числа —1.

Менее тривиальный пример изоморфизма имеется для группы всех вещественных чисел относительно сложения и группы положительных чисел относительно умножения. Изоморфизм дается сопоставлением любому вещественному числу X значения показательной функции ах. Действительно, оно взаимно однозначно (обратное отображение дается логарифмом) и аХі ¦ a*'1 = aXl+x'.

Аналогично изоморфизму групп дается определение изоморфизма колец. Именно, взаимно однозначное отображение ф кольца Ai на кольцо A2 называется изоморфным, если оно сохраняется При операциях сложения и умножения, т. е. если ф(аі + Ог) = = ф(аі) + ф(аг) и ф(аіа2) = ф(а])ф(а2). Ясно, что если кольцо Ai есть область целостности или поле, то его изоморфный образ есть область целостности или поле.

ГЛАВА Il

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Как известно, комплексными числами называются выражения вида а + Ы, где а и b — вещественные числа, і — некоторый символ, удовлетворяющий соотношению i2 = —1. Первые попытки введения в математику комплексных чисел были сделаны итальянскими математиками 16 в. Кардано и Бомбелли в связи с решением уравнений 3-й и 4-й степеней. Однако признание комплексных чисел как ценного орудия исследования происходило очень медленно. Недоверие вызывал сам символ і («мнимая единица»), заведомо не существующий среди вещественных чисел. Это недоверие усугублялось тем, что некритическое перенесение некоторых формул обычной алгебры на комплексные числа порождало неприятные парадоксы (например, /2 = —1, но вместе с тем, используя формальное выражение/=-^ —1 и обычные правила действий с квадратными корнями, получим і2 = V — 1 • V —- 1 = V( — I)2 = =д/1 = і)- Лишь в 19 в. Гауссу удалось дать достаточно убедительное обоснование понятия комплексного числа. Построенная в 19 в. на основе комплексных чисел теория функций комплексного переменного обогатила математический анализ новыми результатами, придала значительной части математического анализа чрезвычайную стройность и простоту, а в дальнейшем оказалась могущественным средством исследования в важных разделах механики и физики. Таким образом, «невозможные», «мнимые» числа явились ценнейшим средством исследования, и тем самым их введение в науку оказалось оправданным не только их непротиворечивостью, но и практической важностью.

§ 1. Обоснование комплексных чисел

1. Наводящие соображения. Задание комплексного числа a -f-+ Ы вполне определяется заданием двух обыкновенных вещественных чисел а и Ь, называемых его компонентами.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed