Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.
Пусть X + у і = Уа + bi, и положим, что b Ф 0, так как только этот случай представляет интерес. Тогда a + Ы = (х -f- yi)2 = = х2 — у1 + 2xyi, что равносильно системе уравнений
X2 — у2 = а,
2ху = Ь,
причем нас интересуют только вещественные решения этой системы. Мы уже знаем, что задача имеет решения. Это дает право
42
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
(ГЛ. Il
предположить, что под буквами х и у подразумевается решение задачи. Тогда (х2— у2)2 = а2, Ах2у2 = Ь2. Складывая эти равен-ства, получим (х2 + у2)2 = а2 + Ь2, откуда х2 + у2 = Уа2 + Ь2, причем здесь должно брать арифметическое значение корня, ибо X2+ У2 > 0- Сопоставляя последнее равенство с первым уравнением системы, получим
2х2 = yiF+l2" + а, 2у2 = ^a2 + Ь2-а.
По замыслу задачи правые части обоих равенств должны быть неотрицательны, и это действительно имеет место, ибо д/а2 + о2> >л/а"2 = |а|.
Из последних равенств находим
VVa2 + ь2 + а л I л/а2 + ь2 — а
Здесь снова берутся арифметические значения для корней, a Oi и 02 принимают значения ±1. Ясно, что так вычисленные числа х и у удовлетворяют первому уравнению системы X2 — у2 = а. Но они должны удовлетворять и второму: 2ху = Ь. Это дает
п . / Va2 + Ь2 + а л I Va5TT2 -а ,
или, после очевидных преобразований,
O1O2^b2 = Ь,
откуда 0102=1, если Ь > 0, и CiO2 = —1, если b <С 0, так чтс 02 = O1 sign 6, где sign 6 обозначает знак Ь, т. е. +1, если b > 0. и —1, если b < 0. Это дает формулу
/—ГТГ , ( л I Va2 + Ь2 + a . . . . , / V«2 + Ь2 — а\ ¦у/а + bi = ± y\j —— + * sign b Д/ -і-2-) ¦
Пример 1.
п , ґл/УТТо'+о , . , /УГ+1Г- о Л . 1 + у Пример 2.
V3—/-dbCV^^-'V^^-iCa-O.
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
43
§ 4. Корни из единицы
1. Формула для корней из единицы. Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для числа 1 существует ровно л значений корня n-й степени. Так как 1 = cos 0 -f- і sin 0, то для корней л-й степени из 1 имеет место формула
2kn , . . 2кл , „ .
:cos--1-г sin- при k = 0, 1,
л- 1.
Конечно, в качестве значений для k может быть взята любай полная система вычетов по модулю л.
2. Геометрическое изображение. Все корни из 1 имеют модуль, равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из них при k = 0 есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси вещественной оси с единичной окружностью. Корень Єї имеет своим аргумен-
2я 1
том —, т. е. — часть полной окружности.
Дальнейшие корни єг, Єз, ..., ел-і имеют
2 3 га— 1
своими аргументами — , —, ... , —-— части окружности, так что они все делят единичную окружность на л равных частей (рис. 6).
Все корни n-й степени из 1 являются корнями уравнения х"— 1 =0. По этой причине уравнение хп— 1 = 0 носит название уравнения деления круга.
Первообразные корни л-й степени из 1. Корень л-й степени из 1 называется^ первообразным или принадлежащим показателю п, если он не является корнем из 1 с меньшим чем п натуральным показателем. Другими словами, є есть первообразный корень л-й степени из 1, если" ъп= І, но' при любом натуральном m < п,
2ft" . 2я
ътф\. Число E1 = cos — + і sin — есть, очевидно, первообразный корень л-й степени из 1, но при л >» 2 существуют и другие первообразные корни. Именно, верна следующая теорема.
2ku 2ku
Теорема 1. Число ek = cos —— + і sin—— есть первообразный корень n-й степени из 1 в том и только в том случае, если k и п взаимно просты.
Действительно, гЧ = 1 всегда. Пусть k к п взаимно просты и
натуральное число. Тогда -= 2/я при
km
пусть є?" = 1, где m
целом t и —^- = t, т. е. km делится на л. Но k и л взаимно просты.
44
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. Il
Следовательно, т делится на п и потому не может быть меньше п. Поэтому є* есть первообразный корень n-й степени из 1.
Предположим теперь, что Ek есть первообразный корень n-?L степени из 1, и пусть d = H. о.д.(&, п), п = ащ, k = dk\. Тогда є* =
= cos + і sin —^- и 8?1 = 1. Отсюда следует, что d = 1, т. е.
^ и п взаимно просты, иначе п\ <. п и е*— не первообразный корень.
Из доказанной теоремы следует, что число первообразных корней n-й степени из 1 равно числу меньших п и взаимно простых с п чисел, т. е. оно равно, значению ф(л) функции Эйлера. Например, при п= 12 имеется четыре первообразных корня: t\, es,
И 8ц.
Предложение 2. Ч исло гк = cos--ь- і sin- является
первообразным корнем из 1 степени П\ = -^-, где d = н. о. д. (k, п).
п k
Действительно, пусть n-i=-j, kx=-j. Тогда числа щ и &t
2ft,3t . . . 2feiJi
взаимно просты и efc = cos ——(- t sm -^— есть первообразный
корень степени «і из 1 в силу только что доказанной теоремы.
Итак, среди корней я-й степени из 1 присутствуют первообразные корни из 1, принадлежащие всем показателям ni = ~j< являющимся делителями п. Например, среди корней 12-й степени из 1 присутствуют первообразные корни степени 12 (ei, es, Є7, ец), степени б (е2 и ею), степени 4 (єз и eg), степени 3 (б4 и ее), степени 2 (е6) и степени 1 (е0).