Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 18

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 168 >> Следующая


3. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.

Пусть X + у і = Уа + bi, и положим, что b Ф 0, так как только этот случай представляет интерес. Тогда a + Ы = (х -f- yi)2 = = х2 — у1 + 2xyi, что равносильно системе уравнений

X2 — у2 = а,

2ху = Ь,

причем нас интересуют только вещественные решения этой системы. Мы уже знаем, что задача имеет решения. Это дает право

42

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

(ГЛ. Il

предположить, что под буквами х и у подразумевается решение задачи. Тогда (х2— у2)2 = а2, Ах2у2 = Ь2. Складывая эти равен-ства, получим (х2 + у2)2 = а2 + Ь2, откуда х2 + у2 = Уа2 + Ь2, причем здесь должно брать арифметическое значение корня, ибо X2+ У2 > 0- Сопоставляя последнее равенство с первым уравнением системы, получим

2х2 = yiF+l2" + а, 2у2 = ^a2 + Ь2-а.

По замыслу задачи правые части обоих равенств должны быть неотрицательны, и это действительно имеет место, ибо д/а2 + о2> >л/а"2 = |а|.

Из последних равенств находим

VVa2 + ь2 + а л I л/а2 + ь2 — а

Здесь снова берутся арифметические значения для корней, a Oi и 02 принимают значения ±1. Ясно, что так вычисленные числа х и у удовлетворяют первому уравнению системы X2 — у2 = а. Но они должны удовлетворять и второму: 2ху = Ь. Это дает

п . / Va2 + Ь2 + а л I Va5TT2 -а ,

или, после очевидных преобразований,

O1O2^b2 = Ь,

откуда 0102=1, если Ь > 0, и CiO2 = —1, если b <С 0, так чтс 02 = O1 sign 6, где sign 6 обозначает знак Ь, т. е. +1, если b > 0. и —1, если b < 0. Это дает формулу

/—ГТГ , ( л I Va2 + Ь2 + a . . . . , / V«2 + Ь2 — а\ ¦у/а + bi = ± y\j —— + * sign b Д/ -і-2-) ¦

Пример 1.

п , ґл/УТТо'+о , . , /УГ+1Г- о Л . 1 + у Пример 2.

V3—/-dbCV^^-'V^^-iCa-O.

КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ

43

§ 4. Корни из единицы

1. Формула для корней из единицы. Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для числа 1 существует ровно л значений корня n-й степени. Так как 1 = cos 0 -f- і sin 0, то для корней л-й степени из 1 имеет место формула

2kn , . . 2кл , „ .

:cos--1-г sin- при k = 0, 1,

л- 1.

Конечно, в качестве значений для k может быть взята любай полная система вычетов по модулю л.

2. Геометрическое изображение. Все корни из 1 имеют модуль, равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из них при k = 0 есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси вещественной оси с единичной окружностью. Корень Єї имеет своим аргумен-

2я 1

том —, т. е. — часть полной окружности.

Дальнейшие корни єг, Єз, ..., ел-і имеют

2 3 га— 1

своими аргументами — , —, ... , —-— части окружности, так что они все делят единичную окружность на л равных частей (рис. 6).

Все корни n-й степени из 1 являются корнями уравнения х"— 1 =0. По этой причине уравнение хп— 1 = 0 носит название уравнения деления круга.

Первообразные корни л-й степени из 1. Корень л-й степени из 1 называется^ первообразным или принадлежащим показателю п, если он не является корнем из 1 с меньшим чем п натуральным показателем. Другими словами, є есть первообразный корень л-й степени из 1, если" ъп= І, но' при любом натуральном m < п,

2ft" . 2я

ътф\. Число E1 = cos — + і sin — есть, очевидно, первообразный корень л-й степени из 1, но при л >» 2 существуют и другие первообразные корни. Именно, верна следующая теорема.

2ku 2ku

Теорема 1. Число ek = cos —— + і sin—— есть первообразный корень n-й степени из 1 в том и только в том случае, если k и п взаимно просты.

Действительно, гЧ = 1 всегда. Пусть k к п взаимно просты и

натуральное число. Тогда -= 2/я при

km

пусть є?" = 1, где m

целом t и —^- = t, т. е. km делится на л. Но k и л взаимно просты.

44

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. Il

Следовательно, т делится на п и потому не может быть меньше п. Поэтому є* есть первообразный корень n-й степени из 1.

Предположим теперь, что Ek есть первообразный корень n-?L степени из 1, и пусть d = H. о.д.(&, п), п = ащ, k = dk\. Тогда є* =

= cos + і sin —^- и 8?1 = 1. Отсюда следует, что d = 1, т. е.

^ и п взаимно просты, иначе п\ <. п и е*— не первообразный корень.

Из доказанной теоремы следует, что число первообразных корней n-й степени из 1 равно числу меньших п и взаимно простых с п чисел, т. е. оно равно, значению ф(л) функции Эйлера. Например, при п= 12 имеется четыре первообразных корня: t\, es,

И 8ц.

Предложение 2. Ч исло гк = cos--ь- і sin- является

первообразным корнем из 1 степени П\ = -^-, где d = н. о. д. (k, п).

п k

Действительно, пусть n-i=-j, kx=-j. Тогда числа щ и &t

2ft,3t . . . 2feiJi

взаимно просты и efc = cos ——(- t sm -^— есть первообразный

корень степени «і из 1 в силу только что доказанной теоремы.

Итак, среди корней я-й степени из 1 присутствуют первообразные корни из 1, принадлежащие всем показателям ni = ~j< являющимся делителями п. Например, среди корней 12-й степени из 1 присутствуют первообразные корни степени 12 (ei, es, Є7, ец), степени б (е2 и ею), степени 4 (єз и eg), степени 3 (б4 и ее), степени 2 (е6) и степени 1 (е0).
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed