Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Впредь, говоря об аргументе комплексного числа, мы будем подразумевать какое-либо его значение, безразлично какое. Если же возникает необходимость выбирать определенное значение, это приходится делать при помощи надлежащего описания (например, «возьмем наименьшее неотрицательное значение аргумента»).
3. Тригонометрическая запись комплексного числа. Модуль г = I а I и аргумент ф = arg а комплексного числа а = а + Ы связаны с его компонентами при помощи формул
Й^ГСОЭф, Ь = Г5ІПф.
Эти формулы непосредственно следуют из определения функций
COS Yi Sin ЛЮбоГО угла. ЯСНО, ЧТО r = Vo2+62, СОЭф:
Рис. 4.
Sin ф :
= —. Эти формулы определяют модуль и аргумент по данным а и Ь. Для определения аргумента можно пользоваться формулой *g Ф — ПРИ а =7^0. Однако эта формула задает ф лишь с точно-
34 комплексные числа ігл. II
a) |o + ?|<|o| + |?|,.
b) !o-?|<|o| + |?!,
c) |a + ?l>|a|-|?|,
d) |a-?|>|a|-|?|.
Эти неравенства удобны для оценивания модуля суммы и модуля разности комплексных чисел, т. е. для указания границ их изменения, если известны границы для модулей слагаемых. Неравенства а) и Ь) применяются для оценивания сверху, неравенства с) и d) дают оценки снизу.
Докажем прежде всего неравенство а).
Пусть a = ri(cos фі+ /sin фі), ?p= r2(cosф2+ /sin ф2) (здесь г і = I а I, r2 = I ? I). Тогда а + ? = Гі cos фі + r2 cos ф2 + і Ci sin ф, + + г25ІПф2), откуда
І Ol +• ? I 2 = (п COS фі +- t2COS ф2)2 + (Г, Sin фі + г25ІПф2)2 =
= г] соэ2ф, + 2r,r2 COS ф, COS ф2 + r\ COS ф2 + r\ &ІП2ф, + + 2r,r2 sin ф, sin ф, + r\ зіп2ф2 = г2(соз2ф, + sin^p,) +
+ 2rZ2(COS ф[ С08ф2+ Sin ф! Sin ф2) + Л2(с032ф2+ 5ІП2ф2) =
= r\ + 2/уа cos (ф; — ф2) + r\.
стью до целого кратного л (т. е. полуоборота), а не до целого кратного 2я. Это заставляет дополнительно выбирать из двух значений ф в противоположных четвертях одно, по знаку совф (или эшф), совпадающему со знаком а (соответственно Ь).
Подставляя вместо компонент комплексного числа а = а + Ы их выражения через модуль и аргумент, получаем
а — г (cos ф + і sin ф).
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Примеры:
1 = 1 (cos 0 + / sin 0), — 1 = 1 (cos л + / sin я),
/=1 (cosi + /sin|-),
1 _/ = У2 (cos (-і)+/sin (-«_)),
З + Ai = 5(cos ф + і sin ф),
где ф — угол первой четверти, косинус которого равен -g-.
4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. Имеют место следующие неравенства:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
35
Но cos(q>i —<р2)< 1. Поэтому | а + ? |2 <r2 + 2rxr2 + r\ = (Y1 + r2)2, откуда в силу положительности I сс —j— ? I и r\ + г2 заключаем, что |a + ?|^n + ''2==|al + |?|i что и требовалось доказать.
Для доказательства неравенства Ь) заметим прежде всего, что |?| = |—?|. Действительно, компоненты чисел ? и —? отличаются только знаками, и суммы квадратов компонент одинаковы. Далее, ja_?| = |o + (—?)K|o| + |—?| = |a| + |?|, что и требовалось доказать.
Для доказательства неравенства с) применим неравенство Ь) к a = (a + ?)— ?. Получим: |a|<|a + ?|-f-|?|, откуда |a-f-?|^s —|?|.
Наконец I а — ?| = |a + (—?)|^|a| — |?|, чем доказано неравенство d).
Все доказанные неравенства имеют ясное геометрическое истолкование (рис. 5). Если точки, изображающие 0, а, ?, не лежат на одной прямой, то треугольник с вершинами 0, а, а-f-? имеет длины сторон |а|, |?| и j оь —|— ? I. Из известных «неравенств треугольника» — сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности — получаем неравенства а) и Ь) (даже без включения равенства, что обеспечивается сделанным предположением о невырожденности треугольника 0, а, а + ?). Неравенства с) и d) становятся очевидными при рггляде на треугольник с вершинами в точках 0, a, ?. Длины двух его сторон равны |а| и |?|, длина третьей стороны равна длине радиус-вектора точки a — ?, т. е. равна |a — ?|. Применение неравенства треугольника приводит к неравенствам с) и d), снова без знаков равенства, которые могут появиться в случае вырождения треугольника в отрезок. При доказательстве неравенств с) и d) мы отметили одно обстоятельство, интересное само по себе: модуль разности двух «омплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти комплексные числа.
Неравенства с) и d) иногда полезны в слегка усиленной формулировке
с') |a + ?|>||a|-|?||,
d') |a-?|>||a|-|?||.
Их справедливость почти очевидна. Действительно, |a + ?[^ ^|a| — |?| и |a + ?|^|?| — J at j. Правые части отличаются знаком и, выбрав из них положительную, придем к неравенству с'). Неравенство d') следует из с') после замены ? на —?.
Неравенство а) очевидным образом обобщается на сумму нескольких слагаемых: | ai-f-a2-|- ... -f- ak | ^ | K11 +1 a21 + ... -f | а,к |,
36
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. IГ
Из неравенства Ь) и обобщенного неравенства а) следует I он+ Ct2+ ... + OtA I ^ 1 осі I — I Ot2+ ... +aA|^s
^ I Ct1 [ — j Ot2 I — — I otft I. '
Это неравенство можно рассматривать как обобщение неравенства Ь). Оно удобно для оценивания снизу суммы, в которой модуль одного слагаемого больше суммы модулей остальных.
