Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
B10 г — аю ________ _2 , .... _а л .. „___Уб—1
откуда a iq 4-г а ю — г2 = 0 и аш = г-
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
47
Во времена Евклида были известны способы построения циркулем и линейкой правильных я-угольников, вписанных в данный круг, для следующих значений я: я = 4, я = 6 (а значит, и п ==3),
л = 10 (с ним и л = 5 и л =15, ибо — ~ъ ~ ~щ) ~~ и прием удвоения числа сторон, что приводило к возможности построения при л = 2*, п = 3»2*, п = 5-2* и л = 15-2*. Никаких других случаев возможности аналогичного построения не было известно до конца 18 в. Тем более поразительным было открытие в 1801 г. способа построения правильного 17-угольника восемнадцатилетним немецким математиком К. Ф. Гауссом. Более того, Гаусс показал, что для возможности построения циркулем и линейкой вписанного
В
Г ODA
Рис. 7. Рис. 8.
в данный круг правильного л-угольника необходимо и достаточно, чтобы каноническое разложение числа л имело вид 2kpq ... г, где
k — любое целое число, а р, q.....г — так называемые простые
числа Ферма. Простое число р называется числом Ферма, если р— 1 есть степень числа 2. Наименьшими простыми числами Ферма являются 3 = 2+1, 5 = 22+ 1, 17 = 24+ 1, 257 = 28+ 1, 65537 = 216+ 1. Легко видеть, что для простоты числа 2"+1 необходимо, чтобы показатель п сам был степенью двойки (но не достаточно: 232+ 1 —не простое число). Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма, или их лишь конечное число — вопрос, не решенный до настоящего времени.
Выведем формулы, из которых следует, что построение вписанного в круг правильного 17-угольника выполнимо циркулем и линейкой. Разумеется, мы в состоянии это сделать здесь лишь формально, не вскрывая глубоких причин успеха.
Прежде всего заметим, что длина стороны аз4 правильного
34-угольника, вписанного в круг радиуса г, равна 2r sin 2 34 —
= 2r sin -~ = 2r cos(y — -^) = 2r cos -8-^ . Положим е = cos-^-+ 2л
+ »'sin . Рассмотрим следующие два числа:
а,=е + е2 + е4 + е8 + е9 + е13 + е15 + е16, а2 = е3 + е5 + е6 + е7 + е10 + е11 + е12 + 814.
48
комплексные числа
{гл. іг
Заметим, что е + е2 + ... + є16 = -^—± = 1^1 = _ 1. Поэтому ai + сс2 = —1.
Далее, числа он и сс2 вещественны, ибо е* и e17-ft = &~k комплексно сопряжены, и, учитывая расположение на единичном круге слагаемых є*, легко убедиться, что ai >0, ос2 < 0.
Вычислим теперь
C4Ct2 = е4 + е6 + є7 + е8 + е11 + е12 + е13 + в15 + е5 + Є7 +
+ Є8 + Є9 + Є12 + Є13 + Є14 + Є16 + Є7 + Є9 + Є10 + Є11 +
+ е14 + є15 + е16 + є + еп + е13 + е14 + е15 + е + е2 + + е3 -4- е5 + є12 + е'4 + е15 + е16 + е2 + е3 + е4 + е6 + + е16 + є + є2 + є3 + є6 + є7 + є8 + е10 + е + е3 + + є4 + є5 + є8 + є9 + е10 + є12 + є2 + е4 + є5 + є6 + + е9 + е10 + еп + є13.
Пока мы просто умножили каждое слагаемое из ai на каждое слагаемое из a2, заменив все показатели, большие 16, их остатками от деления на 17. Внимательное рассмотрение получившейся суммы показывает, что среди 64 слагаемых присутствуют все числа е, е2, ..., е16, каждое по четыре раза. Поэтому aia2=4(e -4- е2 + ...
. . . + Є16) => — 4. Итак, GC1 + Gi2 = — 1, GClGi2 = — 4, ах > 0, OC2 < 0.
Поэтому
— 1 + УЇ7 - 1 - V17 «і= -5-, O2 =-5—*-.
Рассмотрим теперь числа ?i = є + є4 + є13 + є16 и ?2 = e2 + e8 + + е9 + є15. Из расположения слагаемых на единичной окружности легко получить, что ?i > 0, ?2 < 0.
Далее, ?i + ?2 = ccb ?,?2 = e3 + e9 + e10 + e16 + e6 + eI2 + e13 + + є2 + є15 + є4 + є5 + e11 + є + є7 + е8 + є14 = —1. Поэтому
а! + д/а2 + 4 «і — У«2 + 4 Pl- -2-* P2--2 •
Возьмем еще ?3 = E3 + Є5 + Є12 + Є14, ?4 = E6 + Є7 + Є10 + є". Для
них аналогично получим, что ?3+?4=a2, РзР4= — U ?3 > О, ?4 < 0, откуда
a2 + Va2 + 4 д а2 - Va2 + 4 ?3 —-j-' Р4--2 '
Теперь ПОЛОЖИМ Yl = E4 + е13, V2 = є + є16. Ясно, что V2 > Vi > > 0. Далее, vi + ?2 = ?i, V1Y2 = є3 + е5 + є14 + е12 = ?3, откуда
?i— V?i— 4?4 4-2я 1
Yi=--Ho Yi = 2 cos—jj- =-^a34.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
49
Итак, сторона правильного 34-угольника, вписанного в круг радиуса г, находится по формуле
?i-V?i-4?3 «34 = г-^2-•
где _ _
«i + V«? +4 0 а2 + д/а^ + 4 — 1 + д/Т?
Pi= -2-' Рз =-2-' а1— -2-'
-1-д/І7 «2= -2-•
Таким образом, для вычисления аи нужно кроме арифметических действий сделать несколько извлечений квадратного корня. Все эти действия выполнимы при помощи циркуля и линейки.
§ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной
1. Определение показательной функции. Показательная функция ах вещественной переменной х (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений X — как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое
значения для х по правилам а-" = -^n- и а0 = 1. Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной
ч _
функции определяется при помощи корней: ap!q = л/ар. Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа — с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, 21+' — совершенно непонятно.
